Faça um esboço das regiões do plano que satisfazem as seguintes inequações:
Passo 1
O enunciado pede: fazer um esboço das regiões do plano que satisfazem as duas inequações simultaneamente. As informações dadas são:
- A primeira inequação é
. - A segunda inequação é
.
Portanto precisamos desenhar e identificar a interseção do conjunto de pontos que satisfazem as duas condições ao mesmo tempo.
Passo 2
Entender geometricamente cada inequação (a maneira mais prática de esboçar):
- A inequação
representa o disco fechado (inclui a fronteira) de centro e raio . Em palavras: todos os pontos cuja distância ao ponto é menor ou igual a . - A inequação
representa o complemento do disco aberto de centro e raio ; isto é, a região fora do círculo de raio centrado na origem, incluindo a própria circunferência. Em palavras: todos os pontos cuja distância à origem é maior ou igual a .
Como esboçar na prática:
- Desenhar o círculo de centro
e raio (chamarei de C0). - Desenhar o círculo de centro
e raio (chamarei de C1). - O conjunto pedido
é a interseção: pontos que estão dentro (ou sobre) C1 e ao mesmo tempo fora (ou sobre) C0.
Passo 3
Determinar os pontos em que as fronteiras (as circunferências) se intersectam — isso ajuda muito no esboço.
Resolver o sistema formado pelas duas igualdades das fronteiras:
Resolver o sistema formado pelas duas igualdades das fronteiras:
Subtraindo a segunda da primeira obtemos:
Inserindo
em
dá:
Logo os pontos de interseção das circunferências são
Passo 4
Descrição detalhada da forma da região
(motivo pelo qual ela tem esse formato):
- As duas circunferências têm o mesmo raio
e centros em e , cuja distância entre centros é . Isso significa que as duas circunferências se intersectam em dois pontos simétricos em relação ao eixo ; acabámos de encontrar esses pontos. - O disco de C1 (centro
) é a “bolinha de cima”; o conjunto exigido exige pontos dentro dessa bolinha. - A condição
proíbe os pontos que estão estritamente dentro da bolinha em torno da origem. Portanto, dentro da bolinha de cima só podemos manter as partes que não ficam dentro da bolinha da origem. - Consequência geométrica:
é a região dentro do disco centrado em e, simultaneamente, fora (ou na borda) do disco centrado em . Essas duas condições fazem aparecer uma figura em forma de lente (um “segmento circular”) limitada por dois arcos que se encontram nos pontos : - O arco superior pertence à circunferência
(a fronteira do disco de cima), e vai de um ponto de interseção ao outro passando pelo ponto mais alto . - O arco inferior pertence à circunferência
(a fronteira do disco da origem), e vai de um ponto de interseção ao outro passando pelo ponto — note que satisfaz (é ponto comum à fronteira inferior e ao centro da bolinha de cima).
- O arco superior pertence à circunferência
- A região
é simétrica em relação ao eixo (porque as desigualdades são simétricas em ).
Passo 5
Como fazer o esboço passo a passo (prático, para a prova — sem calculadora):
- Desenhe eixos
e . - Desenhe a circunferência unidade centrada em
: é o círculo de raio passando por . - Desenhe a circunferência centrada em
com raio : passa por e e por . - Marque os pontos de interseção calculados:
. - Sombreie a região que está dentro do círculo centrado em
e, ao mesmo tempo, fora (ou sobre) o círculo centrado em . Em linguagem de desenho: na “bolinha de cima” tire a parte que fica dentro da bolinha da origem; o que resta é a lente limitada pelos dois arcos. - Verifique simetria: a parte esquerda e direita são iguais.
Resposta
A região
é o conjunto dos pontos que estão dentro do disco de centro
e raio
e ao mesmo tempo fora (ou sobre) o disco unitário de centro
; geometricamente é a lente limitada pelos arcos das circunferências
e
, que se encontram em
.