Resolva as Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de 1{ }^{\text {a }} ordem a seguir.
\left\{\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =2 y \\\ y(0) & =2026\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI) formado pela equação diferencial e pela condição inicial:
\frac{dy}{dx}=2y
com
y(0)=2026.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para todo x (num intervalo adequado) e que também verifica a condição y(0)=2026.

Passo 2

Observação sobre a equação e escolha do método. A equação é do tipo em que o lado direito depende apenas de y 2y), então ela é separável: podemos escrever a derivada de forma a ter todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro. Uma equação é separável quando pode ser posta como
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y).
Aqui g(x)=2 e h(y)=y. Isso permite separar variables assim:
\frac{1}{y}\,dy = 2\,dx.
Nota: essa separação exige y\neq 0 localmente para dividir por y. Existe também a solução constante y\equiv 0 da equação original, mas a condição inicial y(0)=2026 exclui essa solução trivial.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Explico a regra de integração usada: \int \dfrac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C e \int 2\,dx=2x+constante. Aplicando:
\int \frac{1}{y}\,dy=\int 2\,dx
\Rightarrow \ln|y| = 2x + C,
onde C é a constante de integração (número real).

Passo 4

Isolamos y. Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{2x+C} = e^{C}e^{2x}.
Como e^{C}>0, podemos definir uma nova constante A=e^{C}>0 e escrever |y|=A e^{2x}. Retirando o valor absoluto e permitindo uma constante real K que absorve o sinal (isto é, K\in\mathbb{R} e K\neq 0 corresponde a K=\pm A), obtemos a forma geral
y(x) = K e^{2x},
onde K é uma constante real. (Essa é a forma padrão: para \dfrac{dy}{dx}=ky a solução geral é y=K e^{kx}.)

Passo 5

Aplicação da condição inicial para determinar K. Substituindo x=0 e y(0)=2026:
y(0)=K e^{0}=K=2026.
Logo K=2026. Portanto a solução do PVI é
y(x)=2026\,e^{2x}.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática na prova): calcule a derivada de y(x) e confira a equação original.
\frac{d}{dx}\bigl(2026\,e^{2x}\bigr)=2026\cdot 2\,e^{2x}=2\bigl(2026\,e^{2x}\bigr)=2y,
e y(0)=2026\,e^{0}=2026. Tudo confere.

Passo 7

Dica prática para a prova: quando vir \dfrac{dy}{dx}=k y (com k constante), já decore que a solução geral é y=K e^{kx}. A constante K é obtida pela condição inicial. Isso economiza tempo.

Resposta

y(x)=2026\,e^{2x}

Exercícios relacionados