Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
Calcule a derivada de:
y=\operatorname{tg} 5 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \;y=\operatorname{tg}5x\;.
Informações dadas: a função é a tangente composta com a função linear 5x. A tarefa é encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro lembrete útil: a função tangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
\operatorname{tg}u = \frac{\sin u}{\cos u}.
Isso é importante porque facilita o cálculo da derivada usando regras já conhecidas (por exemplo, a regra do quociente).

Passo 3

Vamos derivar a função \operatorname{tg}x (caso simples, sem composição) usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)},
f'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{[q(x)]^2}.
Aqui tomamos p(x)=\sin x e q(x)=\cos x. Calculamos as derivadas:
p'(x)=\cos x,\qquad q'(x)=-\sin x.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}x\big)=\frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} =\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}.
Como \cos^2 x+\sin^2 x=1, obtemos
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}x\big)=\frac{1}{\cos^2 x}.
Definindo \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, isso é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{tg}x\big)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Agora o que precisamos usar para \operatorname{tg}5x é a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se y=h(u(x)), então
\frac{dy}{dx}=h'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Ou seja, derivamos a função externa avaliando-a na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna.

Passo 5

No nosso caso temos y=\operatorname{tg}\big(u(x)\big) com u(x)=5x. Já sabemos que, para a função externa \operatorname{tg}u,
\frac{d}{du}\big(\operatorname{tg}u\big)=\operatorname{sec}^2 u.
Também u'(x)=\dfrac{d}{dx}(5x)=5. Aplicando a regra da cadeia:
y'=\operatorname{sec}^2\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=\operatorname{sec}^2(5x)\cdot 5.
Portanto podemos escrever
y' = 5\operatorname{sec}^2(5x).
Observação alternativa: como \operatorname{sec}^2 t=1+\tan^2 t, a mesma derivada pode ser escrita como
y' = 5\big(1+\operatorname{tg}^2(5x)\big).

Passo 6

Exemplo rápido para conferir: em x=0 temos \operatorname{sec}^2(0)=1, logo y'(0)=5. Dica para a prova: memorize que \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}x=\operatorname{sec}^2 x e use sempre a regra da cadeia quando há algo do tipo \operatorname{tg}(ax+b).

Resposta

y'=5\operatorname{sec}^2(5x)

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