Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
Calcule a derivada de:
Calcule a derivada de:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
.
Informações dadas: a função é a tangente composta com a função linear . A tarefa é encontrar
.
Informações dadas: a função é a tangente composta com a função linear
Passo 2
Primeiro lembrete útil: a função tangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
Isso é importante porque facilita o cálculo da derivada usando regras já conhecidas (por exemplo, a regra do quociente).
Passo 3
Vamos derivar a função
(caso simples, sem composição) usando a regra do quociente. A regra do quociente diz que, para
,
Aqui tomamos
e
. Calculamos as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Como
, obtemos
Definindo
, isso é
Passo 4
Agora o que precisamos usar para
é a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que, se
, então
Ou seja, derivamos a função externa avaliando-a na função interna e multiplicamos pela derivada da função interna.
Passo 5
No nosso caso temos
com
. Já sabemos que, para a função externa
,
Também
. Aplicando a regra da cadeia:
Portanto podemos escrever
Observação alternativa: como
, a mesma derivada pode ser escrita como
Passo 6
Exemplo rápido para conferir: em
temos
, logo
. Dica para a prova: memorize que
e use sempre a regra da cadeia quando há algo do tipo
.