Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\,dx.
Informações dadas: a função sob o logaritmo é x+\sqrt{1+x^{2}}, definida para todo x\in\mathbb{R}. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão cujo derivada seja \ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right).

Passo 2

Escolhemos um método. Quando a integranda é um logaritmo simples multiplicado por 1 (ou seja, \ln(\cdot) sem outro fator), o método natural é a integração por partes, usando a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhidos de modo a tornar \int v\,du mais simples de calcular. Vou aplicar exatamente essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Definimos as parcelas para a integração por partes:
u = \ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right),\qquad dv = dx.
Agora precisamos de du e v. Primeiro, v é a primitiva de dv=dx, logo
v = x.
Para achar du usamos a regra da derivada do logaritmo: se u=\ln(f(x)) então du = \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx. Aqui f(x)=x+\sqrt{1+x^{2}}. Calculamos f'(x):
f'(x)=1+\frac{d}{dx}\sqrt{1+x^{2}}=1+\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Agora
\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}} =\frac{\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}+x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{x+\sqrt{1+x^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Portanto
du = \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Observação: essa simplificação é importante e mostra que a derivada do logaritmo dado é exatamente \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes com os u,\,v,\,du encontrados:
\int \ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\,dx = x\ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) - \int x\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Ou seja, a integral original se reduziu a uma expressão mais simples menos a integral
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx,
que agora vamos calcular por substituição.

Passo 5

Calculemos \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx. Use a substituição
t = 1+x^{2}\quad\Rightarrow\quad dt = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2}.
Assim
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\sqrt{t}}\cdot\frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt.
Integrando t^{-1/2} obtemos 2t^{1/2}, então
\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt = \frac{1}{2}\cdot 2t^{1/2} = t^{1/2}.
Voltando à variável x,
\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \sqrt{1+x^{2}}.
(Como sempre, podemos acrescentar uma constante de integração aqui, mas a juntaremos no final.)

Passo 6

Substituindo o resultado do Passo 5 no resultado do Passo 4, obtemos a primitiva buscada:
\int \ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\,dx = x\ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) - \sqrt{1+x^{2}} + C,
onde C é a constante de integração. Uma forma alternativa (útil para reconhecer a função hiperbólica inversa) é escrever \ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)=\operatorname{arsinh}(x), dando
x\,\operatorname{arsinh}(x) - \sqrt{1+x^{2}} + C,
mas ambos são equivalentes; vou deixar na forma com logaritmo, que é a do enunciado.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): derivando
F(x)=x\ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\sqrt{1+x^{2}},
usamos derivada do produto e cadeia:
F'(x)=\ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+x\cdot\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}-\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} =\ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right),
como desejado. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

x\ln\!\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)-\sqrt{1+x^{2}}+C

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