Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas: a função sob o logaritmo é
, definida para todo
. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão cujo derivada seja
.
Passo 2
Escolhemos um método. Quando a integranda é um logaritmo simples multiplicado por
(ou seja,
sem outro fator), o método natural é a integração por partes, usando a fórmula
onde
e
são escolhidos de modo a tornar
mais simples de calcular. Vou aplicar exatamente essa fórmula passo a passo.
Passo 3
Definimos as parcelas para a integração por partes:
Agora precisamos de
e
. Primeiro,
é a primitiva de
, logo
Para achar
usamos a regra da derivada do logaritmo: se
então
. Aqui
. Calculamos
:
Agora
Portanto
Observação: essa simplificação é importante e mostra que a derivada do logaritmo dado é exatamente
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes com os
encontrados:
Ou seja, a integral original se reduziu a uma expressão mais simples menos a integral
que agora vamos calcular por substituição.
Passo 5
Calculemos
. Use a substituição
Assim
Integrando
obtemos
, então
Voltando à variável
,
(Como sempre, podemos acrescentar uma constante de integração aqui, mas a juntaremos no final.)
Passo 6
Substituindo o resultado do Passo 5 no resultado do Passo 4, obtemos a primitiva buscada:
onde
é a constante de integração. Uma forma alternativa (útil para reconhecer a função hiperbólica inversa) é escrever
, dando
mas ambos são equivalentes; vou deixar na forma com logaritmo, que é a do enunciado.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): derivando
usamos derivada do produto e cadeia:
como desejado. Portanto a primitiva está correta.