Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
\int\left(e^{a x}+e^{-a x}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int\left(e^{a x}+e^{-a x}\right)^{2} dx.
Informações dadas:
\displaystyle a expressão a integrar é \left(e^{a x}+e^{-a x}\right)^{2}.
Pergunta: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, calcular a integral indefinida e adicionar a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro passo prático: expandir o quadrado para simplificar a integral. Usamos a identidade (u+v)^2=u^2+2uv+v^2 e que e^{a x}\cdot e^{-a x}=e^{0}=1. Assim,
\left(e^{a x}+e^{-a x}\right)^{2}=e^{2a x}+2+e^{-2a x}.

Passo 3

Agora usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Portanto
\int\left(e^{a x}+e^{-a x}\right)^{2} dx =\int e^{2a x}\,dx+\int 2\,dx+\int e^{-2a x}\,dx.
Vamos calcular cada uma dessas três integrais separadamente.

Passo 4

A integral do termo constante é direta. Sabemos que a primitiva de uma constante k é k x. Então
\int 2\,dx = 2x.
Explicação curta: se F(x)=2x então F'(x)=2, logo é uma primitiva.

Passo 5

Para \displaystyle \int e^{2a x}\,dx usamos substituição simples. Seja \displaystyle u=2a x. Então du=2a\,dx, ou seja dx=\dfrac{du}{2a}. Substituindo:
\int e^{2a x}\,dx=\int e^{u}\cdot \frac{du}{2a}=\frac{1}{2a}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2a}e^{u}+\text{const}=\frac{1}{2a}e^{2a x}+\text{const}.
Aqui usei que a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u}.

Passo 6

Para \displaystyle \int e^{-2a x}\,dx procedemos do mesmo modo. Seja \displaystyle v=-2a x. Então dv=-2a\,dx, ou dx=\dfrac{dv}{-2a}. Assim:
\int e^{-2a x}\,dx=\int e^{v}\cdot\frac{dv}{-2a}=-\frac{1}{2a}\int e^{v}\,dv=-\frac{1}{2a}e^{v}+\text{const}=-\frac{1}{2a}e^{-2a x}+\text{const}.

Passo 7

Agora somamos os resultados das três integrais (lembrando de juntar todas as constantes numa única constante C):
\int\left(e^{a x}+e^{-a x}\right)^{2} dx =\frac{1}{2a}e^{2a x}+2x-\frac{1}{2a}e^{-2a x}+C.
Podemos escrever de forma mais compacta usando a diferença das exponenciais:
\frac{e^{2a x}-e^{-2a x}}{2a}+2x+C.
Observação didática: a combinação \dfrac{e^{2a x}-e^{-2a x}}{2} é a definição de \operatorname{sinh}(2a x), então outra forma é \dfrac{1}{a}\operatorname{sinh}(2a x)+2x+C.

Passo 8

Verificação rápida (útil em prova): derivando a primitiva obtida deve voltar ao integrando. Derivando
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2a}e^{2a x}\right)=e^{2a x},\qquad \frac{d}{dx}(2x)=2,\qquad \frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{2a}e^{-2a x}\right)=e^{-2a x},
somando dá e^{2a x}+2+e^{-2a x}, que é exatamente o integrando expandido. Então a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{2a x}-e^{-2a x}}{2a}+2x+C

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