Calcule as integrais seguintes usando o método da substituição ou o método da integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas:
a expressão a integrar é
.
Pergunta: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, calcular a integral indefinida e adicionar a constante de integração .
Informações dadas:
Pergunta: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, isto é, calcular a integral indefinida e adicionar a constante de integração
Passo 2
Primeiro passo prático: expandir o quadrado para simplificar a integral. Usamos a identidade
e que
. Assim,
Passo 3
Agora usamos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Portanto
Vamos calcular cada uma dessas três integrais separadamente.
Passo 4
A integral do termo constante é direta. Sabemos que a primitiva de uma constante
é
. Então
Explicação curta: se
então
, logo é uma primitiva.
Passo 5
Para
usamos substituição simples. Seja
. Então
, ou seja
. Substituindo:
Aqui usei que a primitiva de
em relação a
é
.
Passo 6
Para
procedemos do mesmo modo. Seja
. Então
, ou
. Assim:
Passo 7
Agora somamos os resultados das três integrais (lembrando de juntar todas as constantes numa única constante
):
Podemos escrever de forma mais compacta usando a diferença das exponenciais:
Observação didática: a combinação
é a definição de
, então outra forma é
.
Passo 8
Verificação rápida (útil em prova): derivando a primitiva obtida deve voltar ao integrando. Derivando
somando dá
, que é exatamente o integrando expandido. Então a primitiva está correta.