Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
Passo 1
O enunciado pede: calcule a derivada de
onde
Informações dadas e objetivos claros:
- A função é composta por um fator exponencial
multiplicando um logaritmo natural. - Dentro do logaritmo aparece a soma de duas funções:
e . - O objetivo é obter
, a derivada de em termos de .
Não há figura ou informação externa: tudo que precisamos está na expressão acima.
Passo 2
Visão geral do método (explicando regras que usaremos, passo a passo).
- Quando uma função é produto de duas funções,
, usamos a regra do produto:
Aqui
e
são as duas partes do produto;
é a derivada de
e
a derivada de
.
- Quando temos o logaritmo natural
, sua derivada é dada pela regra da cadeia:
ou seja, derivamos a função interna
e dividimos pelo próprio
.
- Para exponenciais do tipo
, a derivada é . - Para produtos ou quocientes internos usaremos também a regra do produto e, quando conveniente, a regra do quociente. Vou aplicar essas regras com calma em cada termo.
Passo 3
Identificação das partes para aplicar a regra do produto.
Defino
Defino
onde
Queremos
. Vamos calcular
e
separadamente.
Passo 4
Derivada de
.
Usando que com
e
, obtemos
Usando que
Pequeno comentário pedagógico: é como dizer “deriva-se o expoente e multiplica pela mesma exponencial”.
Passo 5
Derivada de
.
Pela regra do logaritmo:
Pela regra do logaritmo:
Agora precisamos achar
. Relembre:
, com
. Então
Passo 6
Derivada de
.
Isto é um produto . Pela regra do produto:
Isto é um produto
Explicação rápida: derivada de
é
, derivada de
é
.
Passo 7
Derivada de
.
É prático reescrever como produto:
É prático reescrever como produto:
Aplicamos a regra do produto: se
então
. Aqui
e
.
-
(regra da exponencial). - Para
usamos a regra da cadeia: se com , então . Como , obtemos
Agora combine:
Fatorando
fica mais compacto:
E simplificando o parêntese:
Passo 8
Montagem de
e de
.
Combinando o resultado do Passo 6 e do Passo 7:
Combinando o resultado do Passo 6 e do Passo 7:
Portanto
Observação didática: ao derivar
sempre dividimos pela própria
; por isso o denominador aparece igual ao argumento do logaritmo.
Passo 9
Aplicação final da regra do produto para obter
.
Lembrando com
,
e
,
, temos
Lembrando
Fatorando
para ficar mais legível:
Agora substituímos
e
pelas expressões obtidas anteriormente.
Passo 10
Substituindo explicitamente
e
para apresentar a resposta final numa forma explícita:
Essa é a forma final correta da derivada; cada termo foi obtido aplicando regra do produto, cadeia e produto/quociente conforme explicado.