Em cada item abaixo, calcule a derivada da função dada.
f(x)=\mathrm{e}^{2 x} \ln \left(x \operatorname{sen}(x)+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcule a derivada de f onde
f(x)=\mathrm{e}^{2x}\ln\!\left(x\sin x+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}\right).
Informações dadas e objetivos claros:
  • A função é composta por um fator exponencial \mathrm{e}^{2x} multiplicando um logaritmo natural.
  • Dentro do logaritmo aparece a soma de duas funções: x\sin x e \dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}.
  • O objetivo é obter f'(x), a derivada de f em termos de x.
    Não há figura ou informação externa: tudo que precisamos está na expressão acima.

Passo 2

Visão geral do método (explicando regras que usaremos, passo a passo).
  • Quando uma função é produto de duas funções, f(x)=u(x)\,v(x), usamos a regra do produto:
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui u(x) e v(x) são as duas partes do produto; u' é a derivada de u e v' a derivada de v.
  • Quando temos o logaritmo natural \ln(g(x)), sua derivada é dada pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\ln(g(x))=\frac{g'(x)}{g(x)},
ou seja, derivamos a função interna g e dividimos pelo próprio g.
  • Para exponenciais do tipo \mathrm{e}^{h(x)}, a derivada é \mathrm{e}^{h(x)}\cdot h'(x).
  • Para produtos ou quocientes internos usaremos também a regra do produto e, quando conveniente, a regra do quociente. Vou aplicar essas regras com calma em cada termo.

Passo 3

Identificação das partes para aplicar a regra do produto.
Defino
u(x)=\mathrm{e}^{2x},\qquad v(x)=\ln\!\left(g(x)\right),
onde
g(x)=x\sin x+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}.
Queremos f'(x)=(u v)'=u'v+u v'. Vamos calcular u' e v' separadamente.

Passo 4

Derivada de u(x)=\mathrm{e}^{2x}.
Usando que \dfrac{d}{dx}\mathrm{e}^{h(x)}=\mathrm{e}^{h(x)}h'(x) com h(x)=2x e h'(x)=2, obtemos
u'(x)=2\mathrm{e}^{2x}.
Pequeno comentário pedagógico: é como dizer “deriva-se o expoente e multiplica pela mesma exponencial”.

Passo 5

Derivada de v(x)=\ln(g(x)).
Pela regra do logaritmo:
v'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}.
Agora precisamos achar g'(x). Relembre: g(x)=x\sin x + h(x), com h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}. Então
g'(x)=\frac{d}{dx}(x\sin x)+h'(x).

Passo 6

Derivada de \dfrac{d}{dx}(x\sin x).
Isto é um produto x\cdot \sin x. Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}(x\sin x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x\cos x.
Explicação rápida: derivada de x é 1, derivada de \sin x é \cos x.

Passo 7

Derivada de h(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}.
É prático reescrever como produto:
h(x)=\mathrm{e}^{-x}\cdot (x^{5}+1)^{-1}.
Aplicamos a regra do produto: se h=ab então h'=a'b+ab'. Aqui a(x)=\mathrm{e}^{-x} e b(x)=(x^{5}+1)^{-1}.
  • a'(x)=(\mathrm{e}^{-x})'=-\mathrm{e}^{-x} (regra da exponencial).
  • Para b(x)=(x^{5}+1)^{-1} usamos a regra da cadeia: se b=(u)^{-1} com u=x^{5}+1, então b'=-1\cdot u^{-2}\cdot u'. Como u'(x)=5x^{4}, obtemos
b'(x)=-5x^{4}(x^{5}+1)^{-2}.
Agora combine:
h'(x)=a'(x)b(x)+a(x)b'(x) = -\mathrm{e}^{-x}(x^{5}+1)^{-1} + \mathrm{e}^{-x}\big(-5x^{4}(x^{5}+1)^{-2}\big).
Fatorando \mathrm{e}^{-x}(x^{5}+1)^{-2} fica mais compacto:
h'(x)=-\mathrm{e}^{-x}\,(x^{5}+1)^{-2}\big(x^{5}+1+5x^{4}\big).
E simplificando o parêntese:
h'(x)=-\mathrm{e}^{-x}\,\frac{x^{5}+5x^{4}+1}{(x^{5}+1)^{2}}.

Passo 8

Montagem de g'(x) e de v'(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}.
Combinando o resultado do Passo 6 e do Passo 7:
g'(x)=\sin x + x\cos x -\mathrm{e}^{-x}\,\frac{x^{5}+5x^{4}+1}{(x^{5}+1)^{2}}.
Portanto
v'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{\sin x + x\cos x -\mathrm{e}^{-x}\dfrac{x^{5}+5x^{4}+1}{(x^{5}+1)^{2}}}{x\sin x+\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}}.
Observação didática: ao derivar \ln(g) sempre dividimos pela própria g; por isso o denominador aparece igual ao argumento do logaritmo.

Passo 9

Aplicação final da regra do produto para obter f'(x).
Lembrando f'(x)=u'v+u v' com u' = 2\mathrm{e}^{2x}, u=\mathrm{e}^{2x} e v=\ln(g(x)), v'=\dfrac{g'(x)}{g(x)}, temos
f'(x)=2\mathrm{e}^{2x}\ln\!\big(g(x)\big)+\mathrm{e}^{2x}\cdot\frac{g'(x)}{g(x)}.
Fatorando \mathrm{e}^{2x} para ficar mais legível:
f'(x)=\mathrm{e}^{2x}\left(2\ln\!\big(g(x)\big)+\frac{g'(x)}{g(x)}\right).
Agora substituímos g(x) e g'(x) pelas expressões obtidas anteriormente.

Passo 10

Substituindo explicitamente g(x) e g'(x) para apresentar a resposta final numa forma explícita:
f'(x)=\mathrm{e}^{2x}\!\left(2\ln\!\left(x\sin x+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}\right) +\frac{\displaystyle \sin x + x\cos x -\mathrm{e}^{-x}\dfrac{x^{5}+5x^{4}+1}{(x^{5}+1)^{2}}}{\displaystyle x\sin x+\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}}\right).
Essa é a forma final correta da derivada; cada termo foi obtido aplicando regra do produto, cadeia e produto/quociente conforme explicado.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\mathrm{e}^{2x}\!\left(2\ln\!\left(x\sin x+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}\right)+\frac{\sin x + x\cos x -\mathrm{e}^{-x}\dfrac{x^{5}+5x^{4}+1}{(x^{5}+1)^{2}}}{x\sin x+\dfrac{\mathrm{e}^{-x}}{x^{5}+1}}\right)

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