Este exercício busca analisar o porquê de
(a) Qual o domínio de
?
(b) Calcule
.
(c) Qual o domínio de
?
(d) Calcule
.
(e) Com base nos itens anteriores, explique o resultado apresentado no início deste problema.
(b) Calcule
(c) Qual o domínio de
(d) Calcule
(e) Com base nos itens anteriores, explique o resultado apresentado no início deste problema.
Passo 1
O enunciado nos dá a identidade
e pede que a gente analise e justifique por que isso é verdade, através de perguntas:
(a) Qual o domínio de
?
(b) Calcule .
(c) Qual o domínio de ?
(d) Calcule .
(e) Com base nos itens anteriores, explique a identidade inicial.
(b) Calcule
(c) Qual o domínio de
(d) Calcule
(e) Com base nos itens anteriores, explique a identidade inicial.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e que usaremos: a função logarítmica natural
aparece com argumentos
e
; devemos lembrar que
só aceita argumentos positivos; e devemos relacionar derivadas e antiderivadas (ou seja, que a antiderivada tem derivada igual à função original). A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Domínio de
.
Explicação didática: a função
é definida como a função inversa da exponencial
, cuja imagem é
. Isso significa que
só pode receber números que sejam imagens de
, ou seja, números positivos. Portanto o argumento de
deve ser estritamente positivo.
Conclusão do passo: o domínio de
é
Passo 3
Derivada de
.
Método e teoria usados: vou usar diferenciação implícita porque é uma forma limpa de mostrar a dependência entre exponencial e logaritmo. Se
, então por definição inversa temos
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. No lado direito a derivada de
é
. Assim:
Isolando
:
Como
(pela relação inicial), obtemos
válido para todos os
do domínio de
, ou seja, para
.
Observação prática: cada símbolo significa:
é
;
é a exponencial desse
;
é a derivada que queremos. Tudo consistente porque
.
Passo 4
Domínio de
.
Explicação didática: a função
só aceita argumentos positivos. No caso o argumento é
. Então precisamos que
, isto é,
.
Conclusão do passo: o domínio de
é
Passo 5
Derivada de
.
Método e teoria: aqui usamos a regra da cadeia. Seja
. Então
. A regra da cadeia diz que
Sabemos que
(para
) e
porque
. Substituindo:
válido para
(já que
é exigência do logaritmo). Note que, surpreendentemente, o resultado formal dá a mesma expressão
, agora com a condição
.
Passo 6
Comparando os resultados das derivadas e introduzindo [\ln|x|).
Observação importante e explicação didática: a função valor absoluto permite escrever de forma única o logaritmo que se ajusta aos dois lados do zero. Definimos
Essa definição faz sentido porque o argumento do logaritmo dentro de cada ramo é positivo.
Agora derivamos
usamos o resultado do Passo 3 e obtemos
. Para
usamos o resultado do Passo 5 e também obtemos
. Portanto, para todo
,
Comentário sobre continuidade do raciocínio: não podemos derivar em
porque nada disso está definido em
. Mas em cada componente do domínio
ou
a derivada existe e vale
.]
Passo 7
Concluindo a identidade da integral.
Teoria de antiderivadas (explicação didática): uma antiderivada de uma função
é uma função
tal que
no domínio considerado. O símbolo de integral indefinida
representa a família das antiderivadas, que difere por uma constante
quando o domínio é conectado.
Aplicando isto aqui: vimos que
para todo
. Logo
é uma antiderivada de
em cada uma das duas componentes do domínio
e
. Portanto a família de antiderivadas de
pode ser escrita como
onde
é uma constante. Observação fina (útil na prova): se você quiser trabalhar separadamente, em
toda antiderivada é
e em
toda antiderivada é
; escrever
é a forma compacta que cobre os dois casos, lembrando que constantes diferentes podem aparecer em componentes distintas do domínio.
Por isso a identidade inicial está justificada: integrar
dá
, porque a derivada de
é
em todo lugar onde a função está definida.
Resposta
(a)
e ambas as derivadas das duas peças valem
em seus domínios, temos
para
; logo
.]