Este exercício busca analisar o porquê de
\int \frac{1}{x}=\ln |x|+C
(a) Qual o domínio de y=\ln x ?
(b) Calcule \frac{d}{d x}(\ln x).
(c) Qual o domínio de y=\ln (-x) ?
(d) Calcule \frac{d}{d x}(\ln (-x)).
(e) Com base nos itens anteriores, explique o resultado apresentado no início deste problema.

Passo 1

O enunciado nos dá a identidade
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C
e pede que a gente analise e justifique por que isso é verdade, através de perguntas:
(a) Qual o domínio de y=\ln x?
(b) Calcule \dfrac{d}{dx}(\ln x).
(c) Qual o domínio de y=\ln(-x)?
(d) Calcule \dfrac{d}{dx}(\ln(-x)).
(e) Com base nos itens anteriores, explique a identidade inicial.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e que usaremos: a função logarítmica natural \ln aparece com argumentos x e -x; devemos lembrar que \ln só aceita argumentos positivos; e devemos relacionar derivadas e antiderivadas (ou seja, que a antiderivada tem derivada igual à função original). A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Domínio de y=\ln x.
Explicação didática: a função \ln é definida como a função inversa da exponencial \mathrm{e}^t, cuja imagem é (0,\infty). Isso significa que \ln só pode receber números que sejam imagens de \mathrm{e}^t, ou seja, números positivos. Portanto o argumento de \ln deve ser estritamente positivo.
Conclusão do passo: o domínio de y=\ln x é
(0,\infty).

Passo 3

Derivada de y=\ln x.
Método e teoria usados: vou usar diferenciação implícita porque é uma forma limpa de mostrar a dependência entre exponencial e logaritmo. Se \displaystyle y=\ln x, então por definição inversa temos
\mathrm{e}^{y}=x.
Agora diferenciamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de \mathrm{e}^{y} em relação a x é \mathrm{e}^{y}\cdot \dfrac{dy}{dx}. No lado direito a derivada de x é 1. Assim:
\mathrm{e}^{y}\,\frac{dy}{dx} = 1.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\mathrm{e}^{y}}.
Como \mathrm{e}^{y}=x (pela relação inicial), obtemos
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},
válido para todos os x do domínio de \ln x, ou seja, para x>0.
Observação prática: cada símbolo significa: y é \ln x; \mathrm{e}^{y} é a exponencial desse y; \dfrac{dy}{dx} é a derivada que queremos. Tudo consistente porque \mathrm{e}^{y}\neq0.

Passo 4

Domínio de y=\ln(-x).
Explicação didática: a função \ln só aceita argumentos positivos. No caso o argumento é -x. Então precisamos que -x>0, isto é, x<0.
Conclusão do passo: o domínio de y=\ln(-x) é
(-\infty,0).

Passo 5

Derivada de y=\ln(-x).
Método e teoria: aqui usamos a regra da cadeia. Seja u(x)=-x. Então y(x)=\ln(u(x)). A regra da cadeia diz que
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{du}(\ln u)\cdot\frac{du}{dx}.
Sabemos que \dfrac{d}{du}(\ln u)=\dfrac{1}{u} (para u>0) e \dfrac{du}{dx}=-1 porque u=-x. Substituindo:
\frac{d}{dx}(\ln(-x))=\frac{1}{-x}\cdot(-1)=\frac{1}{x},
válido para x<0 (já que -x>0 é exigência do logaritmo). Note que, surpreendentemente, o resultado formal dá a mesma expressão \dfrac{1}{x}, agora com a condição x<0.

Passo 6

Comparando os resultados das derivadas e introduzindo [\ln|x|).
Observação importante e explicação didática: a função valor absoluto permite escrever de forma única o logaritmo que se ajusta aos dois lados do zero. Definimos
\ln|x| = \begin{cases} \ln x, & x>0,\\[4pt] \ln(-x), & x<0. \end{cases}
Essa definição faz sentido porque o argumento do logaritmo dentro de cada ramo é positivo.
Agora derivamos \ln|x|\] peça por peça. Para \(x>0 usamos o resultado do Passo 3 e obtemos \dfrac{d}{dx}(\ln|x|)=\dfrac{1}{x}. Para x<0 usamos o resultado do Passo 5 e também obtemos \dfrac{1}{x}. Portanto, para todo x\neq0,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln|x|\bigr)=\frac{1}{x}.
Comentário sobre continuidade do raciocínio: não podemos derivar em x=0 porque nada disso está definido em 0. Mas em cada componente do domínio x>0 ou x<0 a derivada existe e vale \dfrac{1}{x}.]

Passo 7

Concluindo a identidade da integral.
Teoria de antiderivadas (explicação didática): uma antiderivada de uma função f(x) é uma função F(x) tal que F'(x)=f(x) no domínio considerado. O símbolo de integral indefinida \int f(x)\,dx representa a família das antiderivadas, que difere por uma constante C quando o domínio é conectado.
Aplicando isto aqui: vimos que \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln|x|\bigr)=\dfrac{1}{x} para todo x\neq0. Logo \ln|x| é uma antiderivada de \dfrac{1}{x} em cada uma das duas componentes do domínio x>0 e x<0. Portanto a família de antiderivadas de \dfrac{1}{x} pode ser escrita como
\ln|x| + C,
onde C é uma constante. Observação fina (útil na prova): se você quiser trabalhar separadamente, em (0,\infty) toda antiderivada é \ln x + C_1 e em (-\infty,0) toda antiderivada é \ln(-x) + C_2; escrever \ln|x|+C é a forma compacta que cobre os dois casos, lembrando que constantes diferentes podem aparecer em componentes distintas do domínio.
Por isso a identidade inicial está justificada: integrar \dfrac{1}{x} \ln|x|+C, porque a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} em todo lugar onde a função está definida.

Resposta

(a) (0,\infty)\) (b) \(\dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}\) para \(x>0\) \text{(c)} \((-\infty,0)\) (d) \(\dfrac{d}{dx}(\ln(-x))=\dfrac{1}{x}\) para \(x<0\) (e) Como \(\ln|x|=\begin{cases}\ln x,&x>0,\\[4pt]\ln(-x),&x<0,\end{cases} e ambas as derivadas das duas peças valem \dfrac{1}{x} em seus domínios, temos \dfrac{d}{dx}(\ln|x|)=\dfrac{1}{x} para x\neq0; logo \displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.]

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