Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(i) f(x) = sen x, x0 = pi

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: queremos encontrar a derivada da função no ponto . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que envolve limites, e algumas propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada usando a definição. A derivada de em é dada por:
Aqui, vamos substituir por e por :

Passo 3

Sabemos que , então a expressão fica:
Agora, usamos uma identidade trigonométrica importante: . Substituindo isso na expressão, temos:

Passo 4

Lembramos que o limite . Então:

Resposta

A derivada de no ponto é:

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