Em cada item abaixo, calcule a derivada da função f no ponto x_0 indicado. Observação. Em muitos exercícios de limites das listas anteriores, você calculou derivadas sem saber. Reunimos aqui todos eles. Seu objetivo é ver que uma das duas definições para derivada conduz ao limite já resolvido na questão indicada. Veja o gabarito dos itens (a) e (b) caso não tenha entendido.
(j) f(x) = 2^x, x0 = 3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos encontrar a derivada dessa função no ponto . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente Derivadas utilizando a definição de limite. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada que envolve limites.

Passo 2

A definição de derivada de uma função no ponto é dada por:
Aqui, representa uma pequena variação em torno de .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função no ponto :

Passo 4

Simplificando a expressão no numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos fatorar o 8 fora do limite:
Sabemos que:
Essa é uma propriedade fundamental das funções exponenciais.

Passo 6

Substituindo essa propriedade na nossa expressão:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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