Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=\int_{x}^{y} e^{\cos t} d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\int_{x}^{y}e^{\cos t}\,dt
e pede as derivadas parciais em relação a x e y. O conteúdo que vamos usar é a regra de Leibniz para derivadas de integrais com limites variáveis.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial f}{\partial y}, consideramos x como constante e usamos que
\frac{d}{dy}\int_{x}^{y}g(t)\,dt = g(y).
Aqui g(t)=e^{\cos t}, logo
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{\cos y}

Passo 3

Para calcular \frac{\partial f}{\partial x}, consideramos y como constante e usamos que
\frac{d}{dx}\int_{x}^{y}g(t)\,dt = -\,g(x).
Assim, com g(t)=e^{\cos t}, temos
\frac{\partial f}{\partial x} = -\,e^{\cos x}

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = -e^{\cos x} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = e^{\cos y}

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