Para cada item abaixo, calcule o valor de: Z1 cdot Z2Z1+Z2
Z1=3-j 4 e Z2=8+j 6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a expressão Z1 cdot Z2Z1+Z2, onde Z1=3 - j4 e Z2=8 + j6. Esse tipo de cálculo geralmente aparece em circuitos elétricos quando queremos encontrar a impedância equivalente de dois componentes em paralelo. Para isso, vamos precisar multiplicar os números complexos e depois somá-los, sempre lidando com as partes reais e imaginárias separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar Z1 por Z2. Lembre-se que quando você multiplica números complexos, você usa a fórmula:
(a + bj) cdot (c + dj) = (ac - bd) + (ad + bc)j
Então, aplicando isso aos nossos valores:
Z1 cdot Z2 = (3 - 4j) cdot (8 + 6j) = 3 cdot 8 + 3 cdot 6j - 4j cdot 8 - 4j cdot 6j = 24 + 18j - 32j - 24j^2
Lembrando que j^2 = -1, então:
= 24 + 18j - 32j - 24(-1) = 24 - 14j + 24 = 48 - 14j

Passo 3

Agora, vamos somar Z1 e Z2:
Z1 + Z2 = (3 - 4j) + (8 + 6j) = 3 + 8 + (-4j + 6j) = 11 + 2j

Passo 4

Agora que temos o produto e a soma, vamos montar a fração:
Z1 cdot Z2Z1 + Z2 = 48 - 14j11 + 2j
Para simplificar essa fração, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador, que é 11 - 2j:
48 - 14j11 + 2j cdot 11 - 2j11 - 2j = (48 - 14j)(11 - 2j)(11)^2 - (2j)^2
Calculando o denominador:
(11)^2 - (2j)^2 = 121 - 4j^2 = 121 - 4(-1) = 125
Agora, multiplicando o numerador:
(48 - 14j)(11 - 2j) = 48 cdot 11 + 48 cdot (-2j) - 14j cdot 11 - 14j cdot (-2j) = 528 - 96j - 154j + 28j^2 = 528 - 250j + 28(-1) = 528 - 250j - 28 = 500 - 250j

Passo 5

Agora, juntando tudo:
500 - 250j125 = 500125 - 250j125 = 4 - 2j

Resposta

O valor de Z1 cdot Z2Z1+Z2 é 4 - 2j.

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