Em cada item abaixo, calcule o volume do tetraedro e do paralelepípedo formado pelos vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}.
\vec{a}=(2,1,4), \vec{b}=(1,4,5) e \vec{c}=(-3,4,2)

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^3: \vec a=(2,1,4), \vec b=(1,4,5) e \vec c=(-3,4,2).
Pede-se o volume do paralelepípedo e do tetraedro que esses vetores geram a partir da mesma origem.
O conteúdo principal aqui é o produto misto (ou determinante 3\times 3) para encontrar volumes em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Sabemos que:
– O volume do paralelepípedo é
V_{\text{par}}=\bigl|\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)\bigr| =\bigl|\det(\vec a,\vec b,\vec c)\bigr|.
– O volume do tetraedro formado por esses três vetores a partir da origem é
V_{\text{tet}}=\frac{1}{6}\,V_{\text{par}}.

Passo 3

Vamos calcular o determinante
D=\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 4\\\\ 1 & 4 & 5\\\\ -3 & 4 & 2 \end{pmatrix}
expandindo pela primeira linha:
D =2\det\begin{pmatrix}4 & 5\\\ 4 & 2\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1 & 5\\\ -3 & 2\end{pmatrix} +4\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ -3 & 4\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}4 & 5\\\ 4 & 2\end{pmatrix} =4\cdot2-5\cdot4=-12,
\det\begin{pmatrix}1 & 5\\\ -3 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2-5\cdot(-3)=2+15=17,
\det\begin{pmatrix}1 & 4\\\ -3 & 4\end{pmatrix} =1\cdot4-4\cdot(-3)=4+12=16.
Substituindo em D:
D=2\,( -12)-1\,(17)+4\,(16) =-24-17+64=23.
Logo \det(\vec a,\vec b,\vec c)=23.

Passo 4

Calculamos os volumes:
V_{\text{par}}=\bigl|23\bigr|=23,
V_{\text{tet}}=\frac{1}{6}\times23=\frac{23}{6}.

Resposta

Volume do paralelepípedo: 23.
Volume do tetraedro: \tfrac{23}{6}.

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