Em cada item abaixo, dê condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua soluçāo única, nenhuma soluçāo ou infinitas soluções.
\left\{\begin{array}{l}x-b y=-1 \\\ x+a y=10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\begin{cases} x - b y = -1,\\[4pt] x + a y = 10, \end{cases}
e pede condições sobre as constantes a,b (e menciona c). Informações relevantes:
  • As incógnitas são x e y.
  • As constantes que aparecem no sistema são a e b. A constante c não aparece nas equações dadas (logo é irrelevante para este sistema).
  • O objetivo é caracterizar quando o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.]

Passo 2

Vamos eliminar x para obter uma equação só em y. Subtraindo a primeira equação da segunda (isso elimina x porque ambas têm coeficiente 1 em x):
(x + a y) - (x - b y) = 10 - (-1).
No lado esquerdo os x se cancelam e sobra
a y + b y = 11.
Fatorando y,
(a+b)\,y = 11.
Isto é uma equação muito simples: para encontrar y divide-se por a+b, desde que a soma a+b não seja zero. Então, se a+b\neq 0,
y = \frac{11}{a+b}.
Comentário didático sobre o procedimento: ao fazer eliminação, combina-se equações para anular uma incógnita; se a combinação produz um coeficiente multiplicador igual a zero, não é possível dividir e é preciso tratar o caso separadamente (isso corresponde ao caso a+b=0 que vamos analisar depois).

Passo 3

Agora que temos y (no caso a+b\neq 0), encontramos x substituindo em uma das equações originais. Usando x - b y = -1,
x = -1 + b y = -1 + b\cdot\frac{11}{a+b}.
Colocando em uma só fração:
x = \frac{-1(a+b) + 11b}{a+b} = \frac{-a - b + 11b}{a+b} = \frac{-a + 10b}{a+b}.
Portanto, quando a+b\neq 0 o sistema tem solução única dada por
y=\frac{11}{a+b},\qquad x=\frac{-a+10b}{a+b}.
Explicação conceitual (fórmula curta): o determinante da matriz dos coeficientes
\begin{pmatrix}1 & -b\\[4pt]1 & a\end{pmatrix}
é \Delta = 1\cdot a - 1\cdot(-b)=a+b. Para sistemas 2\times2, se \Delta\neq 0 então existe solução única (isso é equivalente ao que fizemos pela eliminação).]

Passo 4

Agora tratar o caso a+b=0 (ou seja, a=-b). Se a=-b, os coeficientes das duas equações ficam iguais: a primeira equação tem vetor de coeficientes (1,-b) e a segunda também fica (1,-b). Assim as duas equações são múltiplos uma da outra em termos dos coeficientes. Para que haja infinitas soluções, além dos coeficientes serem proporcionais, os termos do lado direito também devem obedecer à mesma proporção — isso faz com que as duas equações sejam, na prática, a mesma equação e então haja família de soluções. Aqui os termos independentes são -1 (primeira equação) e 10 (segunda equação). Esses números não são iguais nem proporcionais na mesma razão que as linhas de coeficientes (na verdade as linhas de coeficientes são idênticas, razão 1); portanto, com a+b=0 temos duas equações paralelas/incompatíveis e o sistema é inconsistente.
Concretamente: se a+b=0 então da eliminação anterior obtemos (a+b)y=11\Rightarrow 0\cdot y=11, que é uma contradição (pois 0\neq 11). Logo, quando a+b=0 o sistema não tem solução.
Observação sobre infinitas soluções: para este sistema específico não existe escolha de a e b que torne as duas equações idênticas com o mesmo termo independente, porque os termos independentes são fixos e diferentes ( -1 e 10). Logo infinitas soluções não ocorrem para nenhum par (a,b).

Resposta

Solução única: a+b\neq 0.
Nenhuma solução: a+b=0.
Infinitas soluções: nenhuma possibilidade (não existe a,b que torne o sistema com infinitas soluções).

Exercícios relacionados