Vou usar eliminação por operações elementares nas linhas (método da eliminação de Gauss). Primeira etapa: escrevo a matriz aumentada do sistema — é a maneira mais prática de aplicar operações nas equações ao mesmo tempo:
Breve explicação didática: cada linha corresponde a uma equação; operações do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra” não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é transformar essa matriz numa forma triangular superior para facilitar a resolução por substituição reversa.]
Passo 3
Elimino x das equações 2 e 3 subtraindo a linha 1 delas:
Antes de continuar a eliminação, uma observação útil (e prática na prova): para uma matriz quadrada A de operadores do sistema, se \det(A)\neq 0 então o sistema tem exatamente uma solução (é compatível determinado). Vou calcular o determinante de A. Usei as mesmas operações de subtração de linhas (que não alteram o determinante) para obter uma forma conveniente; assim
Finalmente, uso a primeira equação x+y+z=1 para obter x:
x+0+1=1 \quad\Rightarrow\quad x=0.]
Passo 6
Resumo pedagógico e interpretação final: encontramos exatamente uma solução (x,y,z)=(0,0,1). A verificação rápida (substituir na equações originais) confirma que os três valores satisfazem todas as equações; isso é consistente com o fato de \det(A)\neq 0.