Classifique os sistemas abaixo e explicite as soluções quando possível.
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\\ x-y+2 z=2 \\\ x+6 y+3 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três incógnitas e três equações:
\begin{cases} x+y+z=1,\\[4pt] x-y+2z=2,\\[4pt] x+6y+3z=3. \end{cases}
O que se pede:
  • Classificar o sistema (por exemplo: compatível determinado, compatível indeterminado ou incompatível).
  • Explicitar as soluções quando possível.
Informações relevantes do enunciado que vamos usar (coeficientes e termos independentes):
  • Matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 6 & 3 \end{pmatrix},
  • vetor dos termos independentes
\mathbf b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vou usar eliminação por operações elementares nas linhas (método da eliminação de Gauss). Primeira etapa: escrevo a matriz aumentada do sistema — é a maneira mais prática de aplicar operações nas equações ao mesmo tempo:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & -1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 6 & 3 & 3 \end{array}\right].
Breve explicação didática: cada linha corresponde a uma equação; operações do tipo “somar a uma linha um múltiplo de outra” não mudam o conjunto de soluções do sistema. O objetivo é transformar essa matriz numa forma triangular superior para facilitar a resolução por substituição reversa.]

Passo 3

Elimino x das equações 2 e 3 subtraindo a linha 1 delas:
  • L_2 \leftarrow L_2 - L_1,
  • L_3 \leftarrow L_3 - L_1.
Aplicando isso na matriz aumentada obtemos:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 5 & 2 & 2 \end{array}\right].
Isto corresponde ao sistema equivalente
\begin{cases} x+y+z=1,\\[4pt] -2y+z=1,\\[4pt] 5y+2z=2. \end{cases}]

Passo 4

Antes de continuar a eliminação, uma observação útil (e prática na prova): para uma matriz quadrada A de operadores do sistema, se \det(A)\neq 0 então o sistema tem exatamente uma solução (é compatível determinado). Vou calcular o determinante de A. Usei as mesmas operações de subtração de linhas (que não alteram o determinante) para obter uma forma conveniente; assim
\det(A)= \left|\begin{matrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 5 & 2 \end{matrix}\right|.
Expandindo pela primeira coluna (já que as primeiras entradas das linhas 2 e 3 são zero) temos
\det(A)=1\cdot\det\!\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix} =1\cdot\big((-2)\cdot 2 - 1\cdot 5\big) =-4-5=-9.
Como \det(A)=-9\neq 0, concluímos que o sistema é compatível determinado: existe uma única solução.]

Passo 5

Agora faço a resolução efetiva por substituição usando as equações obtidas em forma triangular:
Das equações reduzidas:
\begin{cases} x+y+z=1,\\[4pt] -2y+z=1,\\[4pt] 5y+2z=2. \end{cases}
Uso a segunda equação para expressar z em função de y:
-2y+z=1 \quad\Rightarrow\quad z=1+2y.
Substituo essa expressão em 5y+2z=2:
5y+2(1+2y)=2.
Desenvolvendo:
5y+2+4y=2 \quad\Rightarrow\quad 9y+2=2 \quad\Rightarrow\quad 9y=0 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Com y=0, volta-se para z=1+2y:
z=1+2\cdot 0=1.
Finalmente, uso a primeira equação x+y+z=1 para obter x:
x+0+1=1 \quad\Rightarrow\quad x=0.]

Passo 6

Resumo pedagógico e interpretação final: encontramos exatamente uma solução (x,y,z)=(0,0,1). A verificação rápida (substituir na equações originais) confirma que os três valores satisfazem todas as equações; isso é consistente com o fato de \det(A)\neq 0.

Resposta

Sistema compatível determinado. (x,y,z)=(0,0,1)

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