O pedido é: classificar o sistema (se é possível/indeterminado/incompatível) e, quando houver solução, explicitar essa(s) solução(ões).]
Passo 2
Breve explicação do método que vou usar (amigável e passo a passo).
Método da eliminação (ou adição/subtração): consiste em somar ou subtrair equações para eliminar incógnitas e obter equações mais simples. Cada etapa produz uma nova equação equivalente ao sistema original.
Conceito de sistema incompatível: ocorre quando, ao manipular as equações, surge uma contradição (por exemplo, uma equação do tipo \,0=1), o que significa que não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Outra forma de analisar é via matrizes: a matriz dos coeficientes pode ser singular (determinante zero), o que indica que ou há infinitas soluções ou não há solução; então comparamos o posto (rank) da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada (Rouché–Capelli): se os postos são diferentes, o sistema é incompatível; se iguais e menores que o número de incógnitas, há infinitas soluções; se igual ao número de incógnitas, solução única.
Vou primeiro aplicar eliminação direta (mais básica) e depois comentar pelo ponto de vista de matrizes/rank para consolidar o entendimento.
Passo 3
Aplicando eliminação simples: somo a primeira e a segunda equações para eliminar y e z:
(x+y+z) + (x-y-z) = 1 + 2.
No lado esquerdo y cancela com -y e z com -z, sobrando
2x = 3.
Logo
x = \frac{3}{2}.
Passo 4
Substituo x=\dfrac{3}{2} nas equações para achar condições sobre y+z.
Usando a primeira equação \,x+y+z=1:
\frac{3}{2} + y + z = 1 \quad\Rightarrow\quad y+z = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}.
Usando a terceira equação \,2x+y+z=1:
2\cdot\frac{3}{2} + y + z = 1 \quad\Rightarrow\quad 3 + y + z = 1 \quad\Rightarrow\quad y+z = 1-3 = -2.
Temos duas condições incompatíveis para a mesma quantidade y+z: uma diz y+z=-\dfrac{1}{2} e outra diz y+z=-2. Como não podem ser verdadeiras simultaneamente, isso é uma contradição. Conclusão direta: não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo. Portanto o sistema é incompatível (sem solução).
Passo 5
Para reforçar e mostrar outra maneira (útil na prova): análise por matrizes e ranks.
Como \det(A)=0, a matriz dos coeficientes é singular e o sistema não tem solução única (pode ter infinitas soluções ou nenhuma).
Agora uso o critério de Rouché–Capelli (posto):
Mostro que uma linha da matriz dos coeficientes é combinação linear das outras: procuro \alpha,\beta tais que \alpha\cdot\text{(linha 1)}+\beta\cdot\text{(linha 2)}=\text{(linha 3)}. Isso dá o sistema para coeficientes:
\alpha+\beta=2,\qquad \alpha-\beta=1.
Somando as duas equações: 2\alpha=3 então \alpha=\tfrac{3}{2} e \beta=\tfrac{1}{2}. Assim a terceira linha é \tfrac{3}{2} vezes a primeira mais \tfrac{1}{2} vezes a segunda, logo o posto de A é 2 (não dependente de todas as três linhas).
Agora verifico se a mesma combinação linear vale para o vetor b. Faço \tfrac{3}{2}\cdot 1 + \tfrac{1}{2}\cdot 2 = \tfrac{3}{2} + 1 = \tfrac{5}{2}. Isso deveria ser igual a 1 (o terceiro componente de b) se a relação se mantivesse para o sistema aumentado. Mas \tfrac{5}{2}\neq 1. Portanto a combinação que reproduz a terceira linha dos coeficientes não reproduz o terceiro termo independente: o posto da matriz aumentada [A\mid b] é maior que o posto de A. Por Rouché–Capelli, quando \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A\mid b]) o sistema é incompatível. Confirma-se a conclusão anterior: sistema sem solução.]
Passo 6
Resumo didático e incentivo:
Fiz a eliminação direta e encontrei uma contradição nas somas y+z, mostrando que não existe solução.
Pelo critério de postos, o posto da matriz de coeficientes é 2 e o posto da matriz aumentada é 3, então o sistema é incompatível.
Se ficar nervoso em prova: a primeira coisa a tentar é eliminar incógnitas somando/subtraindo equações — se aparecer uma contradição clara (como a=b e a\neq b), é incompatível e já acabou. Boa — você já tem duas maneiras de justificar a resposta!