Em cada item abaixo, dê condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua soluçāo única, nenhuma soluçāo ou infinitas soluções.
\left\{\begin{array}{l}x+a y-z=0 \\\\ -x+(a-2) y+z=-1 \\\\ 2 x+2 y+(a-2) z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema com uma constante (aparecendo apenas [a)) e pede condições sobre as constantes para que o sistema tenha solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções.
Dados do enunciado:
\begin{cases} x + a y - z = 0 \\[4pt] - x + (a-2) y + z = -1 \\[4pt] 2x + 2y + (a-2) z = 1 \end{cases}
O que se pede:
  • Determinar para quais valores de a\] o sistema possui solução única; - Determinar para quais valores de \(a o sistema não possui solução (inconsistente);
    - Determinar para quais valores de a o sistema possui infinitas soluções.
Observação importante (apenas listando o que aparece no enunciado): apenas a constante \,a, aparece nas equações; as constantes b e c não aparecem no sistema fornecido.]

Passo 2

Estratégia e por que usá-la (explicação didática, passo a passo):
  • Para sistemas lineares com parâmetros, um método direto é usar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante. Um fato central (explicado abaixo) é:
    • Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, então a matriz é invertível e o sistema tem solução única.
    • Se o determinante for zero, a matriz dos coeficientes não é invertível e então ou o sistema é incompatível (nenhuma solução) ou tem infinitas soluções; para decidir entre esses dois casos precisa-se verificar consistência comparando a matriz dos coeficientes com a matriz aumentada (ranks).
  • Vou calcular o determinante da matriz dos coeficientes dependendo de a. Depois:
    • Se \det\neq0 concluo solução única.
    • Se \det=0 examino os casos a específicos substituindo no sistema e verificando se há contradição (como 0=-1) ou se sobra um parâmetro livre (infinitas soluções).
Breve “aulinha” sobre determinante e solução única:
  • Para a matriz dos coeficientes A de ordem 3, se \det(A)\neq0 então existe A^{-1} e a solução é \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b} (única).
  • Se \det(A)=0, então \operatorname{rank}(A)<3. Se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])<3 o sistema tem infinitas soluções; se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|\mathbf{b}]) o sistema é inconsistente (nenhuma solução).

Passo 3

Formar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante.
Matriz dos coeficientes A:
A=\begin{pmatrix} 1 & a & -1\\[4pt] -1 & a-2 & 1\\[4pt] 2 & 2 & a-2 \end{pmatrix}
Vou simplificar o cálculo do determinante usando operações entre linhas (operações do tipo R_i\leftarrow R_i + k R_j não alteram o determinante exceto por trocas ou multiplicações — aqui uso apenas somas de linhas que preservam o determinante):
Somei R_1 com R_2:
R_2 \leftarrow R_1 + R_2 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & a & -1\\[4pt] 0 & 2a-2 & 0\\[4pt] 2 & 2 & a-2 \end{pmatrix}.
Subtraí 2 vezes R_1 de R_3:
R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1 \quad\Rightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & a & -1\\[4pt] 0 & 2a-2 & 0\\[4pt] 0 & 2-2a & a \end{pmatrix}.
Agora o determinante é simples de calcular por expansão na primeira coluna (ou observar que a primeira coluna tem um único elemento não nulo na primeira linha):
\det(A) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}2a-2 & 0\\[4pt] 2-2a & a\end{pmatrix}.
Calcule o 2\times2:
\det\begin{pmatrix}2a-2 & 0\\[4pt] 2-2a & a\end{pmatrix} = (2a-2)\cdot a - 0\cdot(2-2a) = a(2a-2).
Portanto
\det(A)=a(2a-2)=2a(a-1).]

Passo 4

Interpretação do determinante e conclusão imediata sobre solução única.
  • Se \det(A)\neq0 então existe solução única. Como \det(A)=2a(a-1), temos \det(A)\neq0 quando
a\neq 0\quad\text{e}\quad a\neq 1.
Logo, para todo a diferente de 0 e 1 o sistema tem solução única.
Agora sobra analisar os valores críticos a=0 e a=1 onde \det(A)=0.

Passo 5

Caso [a=0): verificar se há infinitas soluções ou inconsistência.
Substituindo a=0 nas equações originais:
\begin{cases} x + 0\cdot y - z = 0 \\[4pt] - x + (0-2) y + z = -1 \\[4pt] 2x + 2y + (0-2) z = 1 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x - z = 0 \\[4pt] - x -2y + z = -1 \\[4pt] 2x +2y -2z = 1 \end{cases}
Da primeira equação \,x=z\]. Substituo isso na segunda: \[- z -2y + z = -1 \quad\Rightarrow\quad -2y = -1 \quad\Rightarrow\quad y=\tfrac{1}{2}.\] Com \(x=z e y=\tfrac{1}{2}, verifico a terceira equação:
2x + 2\cdot\frac{1}{2} - 2z = 1 \quad\Rightarrow\quad 2x +1 -2z = 1 \quad\Rightarrow\quad 2(x-z)=0,
o que é verdadeiro porque x=z. Não há contradição e uma variável permanece livre ( x e z são iguais, então podem ser parametrizadas por um parâmetro livre). Portanto há infinitas soluções.
Posso escrever a família de soluções (parametrização):
Seja t\in\mathbb{R} e tome x=z=t e y=\tfrac{1}{2}. Assim todas as soluções são
(x,y,z) = \bigl(t,\; \tfrac{1}{2},\; t\bigr),\quad t\in\mathbb{R}.
Conclui-se: para a=0 o sistema tem infinitas soluções.]

Passo 6

Caso [a=1): verificar consistência.
Substituindo a=1 no sistema:
\begin{cases} x + 1\cdot y - z = 0 \\[4pt] - x + (1-2) y + z = -1 \\[4pt] 2x + 2y + (1-2) z = 1 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} x + y - z = 0 \\[4pt] - x - y + z = -1 \\[4pt] 2x +2y - z = 1 \end{cases}
Somando a primeira e a segunda equação:
(x+y-z)+(-x-y+z)=0+(-1)\quad\Rightarrow\quad 0=-1,
o que é uma contradição evidente. Essa contradição mostra que o sistema é inconsistente: não existe tupla (x,y,z)\] que satisfaça todas as equações simultaneamente. Portanto, para \(a=1 o sistema não tem solução.
(Em termos de ranks: surge uma linha equivalente a [0\\\ 0\\\ 0\mid -1] na forma escalonada da matriz aumentada, indicando \operatorname{rank}([A|\mathbf{b}])>\operatorname{rank}(A), logo incompatibilidade.)]

Resposta

Para a\neq 0 e a\neq 1: solução única.
Para a=0: infinitas soluções (ex.: (x,y,z)=(t,\tfrac{1}{2},t), t\in\mathbb{R}).
Para a=1: nenhuma solução.

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