Verifique em cada um dos itens abaixo se o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V, considere sempre as operações usuais nos espaços.
V=M(2,2), W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M(2,2): b=c+1\right\}

Passo 1

O enunciado dá:
  • Espaço vetorial V = M(2,2), o conjunto de todas as matrizes 2\times2 com operações usuais.
  • Subconjunto W = \left\{\left.\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in M(2,2)\\ \right|\\ b = c + 1\right\}.
Pergunta: verificar se W é um subespaço vetorial de V (isto é, se W é um subespaço linear de M(2,2)).]

Passo 2

Lembrete (definição e propriedade essencial). Para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja subespaço vetorial, é necessário e suficiente que:
  1. W não seja vazio (equivalente a conter o vetor zero);
  2. W seja fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W;
  3. W seja fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda é escalar então \lambda u\in W.
Uma observação muito prática: todo subespaço deve conter o vetor zero de V. Justificativa curta: se u\in W então 0\cdot u = 0\in W. Portanto, verificar se a matriz zero está em W é um teste rápido e suficiente para detectar que W não é subespaço (se a matriz zero não pertence, W falha imediatamente).

Passo 3

Verificar se a matriz zero pertence a W.
A matriz zero em M(2,2) é
0 = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Nessa matriz temos \,b=0 e c=0. A condição que define W exige b=c+1. Substituindo:
0 \stackrel{?}{=} 0 + 1.
Isto dá 0 = 1, que é falso. Logo a matriz zero não pertence a W.]

Passo 4

Conclusão imediata a partir do passo anterior: como todo subespaço deve conter o vetor zero e a matriz zero não está em W, segue que W não é subespaço vetorial de V.

Passo 5

(Para reforçar a intuição) Verificação direta de falha de fechamento por adição com exemplo concreto.
Escolha a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Aqui b=1 e c=0, então b=c+1 e portanto A\in W.
Tome B=A (mesma matriz). Então B\in W. Agora some:
A+B=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Nesta soma temos b=2 e c=0, e a condição exigida seria 2 = 0 + 1, isto é 2=1, falso. Assim A+B\notin W. Portanto W não é fechado sob adição — outra forma de ver que não é subespaço.]

Passo 6

(Outra verificação) Falha de fechamento sob multiplicação escalar com exemplo.
Usando a mesma matriz A\in W do passo anterior e o escalar \lambda=2:
2A = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
e como já vimos isto não satisfaz b=c+1. Logo 2A\notin W. Assim W não é fechado sob multiplicação escalar.]

Passo 7

Resumo didático final: a verificação mais imediata e suficiente é que a matriz zero não pertence a W. Isso já prova que W não pode ser subespaço. As verificações adicionais por adição e escalar mostram concretamente onde a definição falha.

Resposta

Não — W não é subespaço vetorial de V.

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