Verifique em cada um dos itens abaixo se o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V, considere sempre as operações usuais nos espaços. V=M(2,2), W=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right] \in M(2,2): b=c+1\right\}
Passo 1
O enunciado dá:
Espaço vetorial V = M(2,2), o conjunto de todas as matrizes 2\times2 com operações usuais.
Subconjunto W = \left\{\left.\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in M(2,2)\\ \right|\\ b = c + 1\right\}.
Pergunta: verificar se W é um subespaço vetorial de V (isto é, se W é um subespaço linear de M(2,2)).]
Passo 2
Lembrete (definição e propriedade essencial). Para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja subespaço vetorial, é necessário e suficiente que:
W não seja vazio (equivalente a conter o vetor zero);
W seja fechado sob adição: se u,v\in W então u+v\in W;
W seja fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda é escalar então \lambda u\in W.
Uma observação muito prática: todo subespaço deve conter o vetor zero de V. Justificativa curta: se u\in W então 0\cdot u = 0\in W. Portanto, verificar se a matriz zero está em W é um teste rápido e suficiente para detectar que W não é subespaço (se a matriz zero não pertence, W falha imediatamente).
Nessa matriz temos \,b=0 e c=0. A condição que define W exige b=c+1. Substituindo:
0 \stackrel{?}{=} 0 + 1.
Isto dá 0 = 1, que é falso. Logo a matriz zero não pertence a W.]
Passo 4
Conclusão imediata a partir do passo anterior: como todo subespaço deve conter o vetor zero e a matriz zero não está em W, segue que W não é subespaço vetorial de V.
Passo 5
(Para reforçar a intuição) Verificação direta de falha de fechamento por adição com exemplo concreto.
Nesta soma temos b=2 e c=0, e a condição exigida seria 2 = 0 + 1, isto é 2=1, falso. Assim A+B\notin W. Portanto W não é fechado sob adição — outra forma de ver que não é subespaço.]
Passo 6
(Outra verificação) Falha de fechamento sob multiplicação escalar com exemplo.
Usando a mesma matriz A\in W do passo anterior e o escalar \lambda=2:
e como já vimos isto não satisfaz b=c+1. Logo 2A\notin W. Assim W não é fechado sob multiplicação escalar.]
Passo 7
Resumo didático final: a verificação mais imediata e suficiente é que a matriz zero não pertence a W. Isso já prova que W não pode ser subespaço. As verificações adicionais por adição e escalar mostram concretamente onde a definição falha.