Em cada item abaixo, dê condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua soluçāo única, nenhuma soluçāo ou infinitas soluções.
\left\{\begin{array}{l}x-b y=-1 \\\ a x+2 y=5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: "Em cada item abaixo, dê condições sobre as constantes a, b\) e \(c\) para que o sistema possua solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções." O sistema fornecido é \[\begin{cases} x - b y = -1,\\[4pt] a x + 2 y = 5. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • As incógnitas são x\] e \(y.
  • As constantes que aparecem no sistema são a e b; o número c mencionado na pergunta NÃO aparece nas equações do sistema.
  • O que se pede é classificar os valores de a,b,c que levam a cada tipo de solução (única / nenhuma / infinitas).
    Observação importante: como c não aparece nas equações, ele não influencia o sistema; portanto as condições sobre a e b serão independentes de c — qualquer valor de c é compatível com a mesma classificação.]

Passo 2

Vamos organizar o sistema em termos da matriz dos coeficientes e do determinante. A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}1 & -b \\[4pt] a & 2\end{pmatrix}.
Para um sistema linear 2\times2, o determinante da matriz dos coeficientes decide a existência de solução única: se o determinante for diferente de zero, há solução única; se o determinante for zero, pode haver nenhuma solução ou infinitas soluções (dependendo da consistência). O determinante D de A é
D=\det(A)=1\cdot 2 - (-b)\cdot a = 2 + ab.]

Passo 3

Condição de solução única. Pelo argumento anterior, se o determinante for diferente de zero o sistema tem solução única. Logo:
\text{solução única} \iff D \ne 0 \iff ab + 2 \ne 0.çãú
Para ver como fica a solução nesse caso (aplicando a regra de Cramer), calculam-se os determinantes substituindo colunas pelas constantes do lado direito. Os determinantes auxiliares são
D_x=\det\begin{pmatrix}-1 & -b \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix}=(-1)\cdot 2 - (-b)\cdot 5 = -2 + 5b = 5b-2,
D_y=\det\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] a & 5\end{pmatrix}=1\cdot 5 - a\cdot(-1)=5+a.
Portanto, quando ab+2\ne0,
x=\frac{D_x}{D}=\frac{5b-2}{ab+2},\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{5+a}{ab+2}.
(Isto mostra concretamente que existe uma e só uma solução quando ab+2\ne0.)]

Passo 4

Caso D=0. Se ab+2=0 (isto é, ab=-2), então as equações do sistema podem ser proporcionais nas colunas dos coeficientes; precisamos verificar consistência (se o vetor dos termos independentes é na mesma proporção) para distinguir entre nenhuma solução e infinitas soluções.
Quando ab=-2, os coeficientes das duas equações satisfazem a proporcionalidade entre as linhas: existe k tal que
(a,2)=k\,(1,-b).
Pela primeira coordenada temos k=a. Pela segunda coordenada obtemos 2=k\cdot(-b)=a(-b)=-ab. Mas como ab=-2, tem-se -ab=2, então essa igualdade é automaticamente satisfeita para qualquer a,b com ab=-2. Portanto, para ab=-2 as linhas dos coeficientes são proporcionais com razão k=a.
Para haver infinitas soluções, além da proporcionalidade das linhas dos coeficientes, os termos independentes também devem obedecer à mesma proporção: o segundo termo independente 5 deve ser k vezes o primeiro termo independente -1. Ou seja,
5 = k\cdot (-1) = a\cdot(-1) \quad\Longrightarrow\quad a=-5.
Se a=-5 então, usando ab=-2, obtemos b=\dfrac{-2}{a}=\dfrac{-2}{-5}=\dfrac{2}{5}. Assim, quando
a=-5\quad\text{e}\quad b=\tfrac{2}{5},
as duas equações são múltiplos uma da outra e os termos independentes estão na mesma proporção, então o sistema tem infinitas soluções (uma família de soluções com 1 grau de liberdade).
Se, ao contrário, ab=-2 mas a\ne -5, então as linhas dos coeficientes são proporcionais mas os termos independentes não obedecem à mesma proporção (porque seria preciso 5=-a que não ocorre), portanto o sistema é inconsistente e não tem solução.

Passo 5

Recapitulando em linguagem direta e lembrando que c não aparece no sistema (logo qualquer valor de c é compatível com as mesmas condições):
  • Se ab+2\ne0 então existe solução única (com x=(5b-2)/(ab+2) e y=(5+a)/(ab+2)).
  • Se ab=-2 e a=-5 (equivalente a a=-5 e b=\tfrac{2}{5}) então há infinitas soluções.
  • Se ab=-2 e a\ne-5 então não há solução.

Resposta

Solução única: ab+2\ne0. Qualquer c.
Nenhuma solução: ab=-2 e a\ne-5. Qualquer c.
Infinitas soluções: a=-5 e b=\tfrac{2}{5}. Qualquer c.

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