Em cada item abaixo, dê condições sobre as constantes
e
para que o sistema possua soluçāo única, nenhuma soluçāo ou infinitas soluções.
Passo 1
O enunciado pede: "Em cada item abaixo, dê condições sobre as constantes
Informações relevantes que temos:
- As incógnitas são .
- As constantes que aparecem no sistema são
e ; o número mencionado na pergunta NÃO aparece nas equações do sistema. - O que se pede é classificar os valores de
que levam a cada tipo de solução (única / nenhuma / infinitas).
Observação importante: comonão aparece nas equações, ele não influencia o sistema; portanto as condições sobre e serão independentes de — qualquer valor de é compatível com a mesma classificação.]
Passo 2
Vamos organizar o sistema em termos da matriz dos coeficientes e do determinante. A matriz dos coeficientes é
Para um sistema linear
, o determinante da matriz dos coeficientes decide a existência de solução única: se o determinante for diferente de zero, há solução única; se o determinante for zero, pode haver nenhuma solução ou infinitas soluções (dependendo da consistência). O determinante
de
é
Passo 3
Condição de solução única. Pelo argumento anterior, se o determinante for diferente de zero o sistema tem solução única. Logo:
Para ver como fica a solução nesse caso (aplicando a regra de Cramer), calculam-se os determinantes substituindo colunas pelas constantes do lado direito. Os determinantes auxiliares são
Portanto, quando
,
(Isto mostra concretamente que existe uma e só uma solução quando
.)]
Passo 4
Caso
. Se
(isto é,
), então as equações do sistema podem ser proporcionais nas colunas dos coeficientes; precisamos verificar consistência (se o vetor dos termos independentes é na mesma proporção) para distinguir entre nenhuma solução e infinitas soluções.
Quando
, os coeficientes das duas equações satisfazem a proporcionalidade entre as linhas: existe
tal que
Pela primeira coordenada temos
. Pela segunda coordenada obtemos
. Mas como
, tem-se
, então essa igualdade é automaticamente satisfeita para qualquer
com
. Portanto, para
as linhas dos coeficientes são proporcionais com razão
.
Para haver infinitas soluções, além da proporcionalidade das linhas dos coeficientes, os termos independentes também devem obedecer à mesma proporção: o segundo termo independente
deve ser
vezes o primeiro termo independente
. Ou seja,
Se
então, usando
, obtemos
. Assim, quando
as duas equações são múltiplos uma da outra e os termos independentes estão na mesma proporção, então o sistema tem infinitas soluções (uma família de soluções com 1 grau de liberdade).
Se, ao contrário,
mas
, então as linhas dos coeficientes são proporcionais mas os termos independentes não obedecem à mesma proporção (porque seria preciso
que não ocorre), portanto o sistema é inconsistente e não tem solução.
Passo 5
Recapitulando em linguagem direta e lembrando que
não aparece no sistema (logo qualquer valor de
é compatível com as mesmas condições):
- Se
então existe solução única (com e ). - Se
e (equivalente a e ) então há infinitas soluções. - Se
e então não há solução.
Resposta
Solução única:
. Qualquer
.
Nenhuma solução:
e
. Qualquer
.
Infinitas soluções:
e
. Qualquer
.