Em cada item abaixo, determinar o polinômio minimal de T e verificar se este é diagonalizável. Caso afirmativo, exibir a sua forma diagonal.
T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), \quad T\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 x+y & 2 y \\\ y+z & w\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
T\colon M_2(\mathbb{R})\to M_2(\mathbb{R}),\quad T\!\begin{pmatrix}x&y\z&w\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2x+y&2y\y+z&w\end{pmatrix},
e pede o polinômio minimal de T e verificar se T é diagonalizável.
O conteúdo aqui é álgebra linear: representação matricial em uma base canônica, cálculo do polinômio característico e minimal, e critérios de diagonalização (igualdade entre multiplicidade geométrica e algébrica de cada autovalor).

Passo 2

Escolho a base canônica de M_2(\mathbb{R}): \mathcal{B}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}), onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 1&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Calculando T em cada um: T(E_{11})=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&0\end{pmatrix}=2E_{11}, T(E_{12})=\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&0\end{pmatrix}=1E_{11}+2E_{12}+1E_{21}, T(E_{21})=E_{21}, T(E_{22})=E_{22}.
Logo, a matriz de T em \mathcal{B} é
A=\begin{pmatrix} 2&1&0&0\\\\ 0&2&0&0\\\\ 0&1&1&0\\\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix},
onde as colunas são as coordenadas de T(E_{11}),T(E_{12}),T(E_{21}),T(E_{22}).

Passo 3

Para achar o polinômio característico, note que A é bloco-diagonal entre um bloco 3\times3 e um bloco 1\times1. No bloco 3\times3
B=\begin{pmatrix}2&1&0\\\ 0&2&0\\\ 0&1&1\end{pmatrix}
temos
\det(B-\lambda I)= (2-\lambda)^2(1-\lambda).
O outro bloco dá (1-\lambda). Assim
\chi_T(\lambda)=\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2(1-\lambda)^2.

Passo 4

Para o polinômio minimal \mu_T(\lambda) precisamos dos maiores tamanhos de blocos de Jordan para cada autovalor.
– Para \lambda=2, o bloco B tem multiplicidade algébrica 2 e, ao calcular \dim\ker(B-2I)=1, concluímos que há um bloco de Jordan de tamanho 2 em \lambda=2, exigindo o fator (\lambda-2)^2 em \mu_T.
– Para \lambda=1, há dois blocos de tamanho 1 (um em B e outro no bloco 1\times1), então basta (\lambda-1).
Logo
\mu_T(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-1).

Passo 5

Um operador é diagonalizável se e somente se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) coincide com a multiplicidade algébrica. Aqui, em \lambda=2 a multiplicidade algébrica é 2 mas a geométrica é 1 (pois \dim\ker(T-2I)=1), de modo que não há base de autovetores suficiente. Portanto T não é diagonalizável.

Resposta

O polinômio minimal de T é
\mu_T(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-1),
e T não é diagonalizável.

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