Em cada item abaixo, determinar o polinômio minimal de T e verificar se este é diagonalizável. Caso afirmativo, exibir a sua forma diagonal. T: M_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), \quad T\left(\begin{array}{cc}x & y \\\ z & w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 x+y & 2 y \\\ y+z & w\end{array}\right).
e pede o polinômio minimal de T e verificar se T é diagonalizável.
O conteúdo aqui é álgebra linear: representação matricial em uma base canônica, cálculo do polinômio característico e minimal, e critérios de diagonalização (igualdade entre multiplicidade geométrica e algébrica de cada autovalor).
Passo 2
Escolho a base canônica de M_2(\mathbb{R}): \mathcal{B}=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}), onde
Calculando T em cada um: T(E_{11})=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&0\end{pmatrix}=2E_{11}, T(E_{12})=\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&0\end{pmatrix}=1E_{11}+2E_{12}+1E_{21}, T(E_{21})=E_{21}, T(E_{22})=E_{22}.
Logo, a matriz de T em \mathcal{B} é
Para o polinômio minimal \mu_T(\lambda) precisamos dos maiores tamanhos de blocos de Jordan para cada autovalor.
– Para \lambda=2, o bloco B tem multiplicidade algébrica 2 e, ao calcular \dim\ker(B-2I)=1, concluímos que há um bloco de Jordan de tamanho 2 em \lambda=2, exigindo o fator (\lambda-2)^2 em \mu_T.
– Para \lambda=1, há dois blocos de tamanho 1 (um em B e outro no bloco 1\times1), então basta (\lambda-1).
Logo
\mu_T(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda-1).
Passo 5
Um operador é diagonalizável se e somente se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do espaço próprio) coincide com a multiplicidade algébrica. Aqui, em \lambda=2 a multiplicidade algébrica é 2 mas a geométrica é 1 (pois \dim\ker(T-2I)=1), de modo que não há base de autovetores suficiente. Portanto T não é diagonalizável.