Em cada item abaixo, determinar o polinômio minimal de T e verificar se este é diagonalizável. Caso afirmativo, exibir a sua forma diagonal. T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que [T]_{c}^{c}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & -3 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ -3 & 3 & 1\end{array}\right), onde c é a base canônica do \mathbb{R}^{3}.
Passo 1
O enunciado apresenta o operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
Precisamos encontrar o polinômio minimal de T e verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos usar o fato de que o polinômio minimal divide o polinômio característico e que T é diagonalizável exatamente quando a soma das dimensões dos espaços próprios é igual a \dim\mathbb{R}^3=3.
Passo 2
Vamos calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Temos
Os valores próprios são \lambda=-2 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=4 (multiplicidade algébrica 2).
Passo 4
Agora verificamos as dimensões dos espaços próprios.
Para \lambda=4\):
\[A-4I = \begin{pmatrix} -3 & 3 & -3\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ -3 & 3 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{eliminação}} x - y + z =0.
Há uma equação em 3 incógnitas, então \dim E_4=3-1=2.
Para \lambda=-2:
A+2I = \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3\\\\ 0 & 6 & 0\\\\ -3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{eliminação}} \begin{cases} 6y=0,\\\ x + y - z =0, \end{cases}çã
o que dá duas equações independentes em 3 incógnitas, logo (\dim E_{-2}=3-2=1].
Passo 5
As dimensões dos espaços próprios somam 2+1=3, igual à dimensão do espaço total, portanto T é diagonalizável. Em particular, como todos os fatores lineares aparecem com multiplicidade geométrica igual à algébrica, o polinômio minimal não precisa de potências maiores que 1. Assim
m_T(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda-4).
Passo 6
Para exibir a forma diagonal, basta escolher bases de cada espaço próprio. Por exemplo: