Em cada item abaixo, determinar o polinômio minimal de T e verificar se este é diagonalizável. Caso afirmativo, exibir a sua forma diagonal.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que [T]_{c}^{c}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 3 & -3 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ -3 & 3 & 1\end{array}\right), onde c é a base canônica do \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado apresenta o operador linear T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 cuja matriz na base canônica é
A = [T]_c^c = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -3\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ -3 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Precisamos encontrar o polinômio minimal de T e verificar se T é diagonalizável. Para isso, vamos usar o fato de que o polinômio minimal divide o polinômio característico e que T é diagonalizável exatamente quando a soma das dimensões dos espaços próprios é igual a \dim\mathbb{R}^3=3.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I). Temos
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & -3\\\\ 0 & 4-\lambda & 0\\\\ -3 & 3 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela segunda linha (só o pivô não nulo):
\chi_A(\lambda) = (4-\lambda)\det \begin{pmatrix} 1-\lambda & -3\\\\ -3 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (4-\lambda)\bigl((1-\lambda)^2-9\bigr).

Passo 3

Fatorando \chi_A(\lambda):
(1-\lambda)^2-9=(1-\lambda-3)(1-\lambda+3)=-(\lambda+2)\,[-(\lambda-4)] = (\lambda+2)(\lambda-4),
logo
\chi_A(\lambda)=(4-\lambda)(\lambda+2)(\lambda-4)=(\lambda+2)(\lambda-4)^2.
Os valores próprios são \lambda=-2 (multiplicidade algébrica 1) e \lambda=4 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Agora verificamos as dimensões dos espaços próprios.
  1. Para \lambda=4\): \[A-4I = \begin{pmatrix} -3 & 3 & -3\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ -3 & 3 & -3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{eliminação}} x - y + z =0.
Há uma equação em 3 incógnitas, então \dim E_4=3-1=2.
  1. Para \lambda=-2:
A+2I = \begin{pmatrix} 3 & 3 & -3\\\\ 0 & 6 & 0\\\\ -3 & 3 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{eliminação}} \begin{cases} 6y=0,\\\ x + y - z =0, \end{cases}çã
o que dá duas equações independentes em 3 incógnitas, logo (\dim E_{-2}=3-2=1].

Passo 5

As dimensões dos espaços próprios somam 2+1=3, igual à dimensão do espaço total, portanto T é diagonalizável. Em particular, como todos os fatores lineares aparecem com multiplicidade geométrica igual à algébrica, o polinômio minimal não precisa de potências maiores que 1. Assim
m_T(\lambda)=(\lambda+2)(\lambda-4).

Passo 6

Para exibir a forma diagonal, basta escolher bases de cada espaço próprio. Por exemplo:
v_{-2}=(1,0,1)\in E_{-2},\quad v_{4}^{(1)}=(1,1,0),\quad v_{4}^{(2)}=(-1,0,1)\in E_{4}.
Na base \{v_{-2},v_{4}^{(1)},v_{4}^{(2)}\} a matriz de T é
D = \mathrm{diag}(-2,\,4,\,4).

Resposta

O polinômio minimal de T é
m_T(\lambda) = (\lambda+2)(\lambda-4). T é diagonalizável e, na base formada pelos autovetores escolhidos, sua forma diagonal é
\mathrm{diag}(-2,\,4,\,4).

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