Em cada item abaixo, determine a equação paramétrica da reta obtida como interseção dos planos dados.
2 x+y+3 z=1 e x-4 y-2 z=1

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede a equação paramétrica da reta que é a interseção entre eles. As informações fornecidas são:
2x+y+3z=1
x-4y-2z=1
O que se pede: determinar uma representação paramétrica da reta formada pela interseção desses dois planos (ou seja, escrever x,y,z em função de um parâmetro real).

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): a interseção de dois planos, quando existe e não é um plano todo, é uma reta. Duas coisas úteis para obter a reta:
  • Um vetor diretor da reta pode ser obtido como o produto vetorial (cross product) dos vetores normais aos planos. Isso porque o vetor diretor precisa ser perpendicular a ambos os normais.
  • Um ponto particular da reta pode ser obtido resolvendo o sistema das duas equações dos planos atribuindo um valor conveniente a uma das variáveis (por exemplo z=0) e resolvendo para x e y.
Escolhi este método porque o produto vetorial dá direto o vetor diretor de forma simples, e escolher uma variável para um valor simples geralmente produz um ponto particular com contas fáceis.

Passo 3

Encontremos os vetores normais dos planos (peguei estes coeficientes das equações dadas):
  • Para \;2x+y+3z=1\; o vetor normal é \;n_1=(2,1,3).
  • Para \;x-4y-2z=1\; o vetor normal é \;n_2=(1,-4,-2).
Agora calculamos o produto vetorial n_1\times n_2. Lembrete rápido do produto vetorial: para a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3),
a\times b = \big(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\big).
Aplicando a fórmula com a=n_1 e b=n_2:
n_1\times n_2 = \big(1\cdot(-2)-3\cdot(-4),\;3\cdot1-2\cdot(-2),\;2\cdot(-4)-1\cdot1\big).
Agora calculamos cada componente separadamente:
\text{primeira componente} = 1\cdot(-2)-3\cdot(-4) = -2 +12 =10,
\text{segunda componente} = 3\cdot1-2\cdot(-2) = 3 +4 =7,
\text{terceira componente} = 2\cdot(-4)-1\cdot1 = -8 -1 = -9.
Portanto um vetor diretor da reta é
d = n_1\times n_2 = (10,7,-9).
Explicação rápida: esse vetor é perpendicular a ambos os normais, logo é paralelo à reta de interseção.

Passo 4

Agora precisamos de um ponto específico da reta. Vou pegar um valor simples para uma variável e resolver o sistema linear para as outras duas. Escolho z=0 (escolha legítima: qualquer valor real funciona e simplifica contas). Substituindo z=0 nas equações dadas (peguei esses termos das equações iniciais):
2x+y+3\cdot0=1 \quad\Rightarrow\quad 2x+y=1,
x-4y-2\cdot0=1 \quad\Rightarrow\quad x-4y=1.
Agora resolvemos esse sistema 2×2. Podemos isolar x da segunda equação:
x = 1+4y.
Substituindo na primeira:
2(1+4y) + y = 1.
Desenvolvendo e somando termos semelhantes:
2 + 8y + y = 1 \quad\Rightarrow\quad 2 + 9y = 1 \quad\Rightarrow\quad 9y = -1.
Logo
y = -\frac{1}{9}.
Substituindo em x=1+4y:
x = 1 + 4\left(-\frac{1}{9}\right) = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}.
Portanto um ponto da reta é
P_0 = \left(\frac{5}{9}, -\frac{1}{9}, 0\right).
Resumo: peguei z=0 das equações e resolvi para x,y obtendo o ponto acima.

Passo 5

Agora formamos a equação paramétrica da reta usando o ponto P_0 e o vetor diretor d. Se t\in\mathbb{R} for o parâmetro, a forma vetorial é
\big(x,y,z\big) = \left(\frac{5}{9}, -\frac{1}{9}, 0\right) + t\,(10,7,-9).
Escrevendo em coordenadas paramétricas (uma forma prática para prova):
x = \frac{5}{9} + 10t,
y = -\frac{1}{9} + 7t,
z = -9t.
Observação: outro parâmetro equivalente poderia ser usado (trocar t por -t/9 etc.), as representações são todas a mesma reta, apenas com reparametrização.

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza): substituindo x,y,z acima nas equações dos planos deve satisfazê-las para todo t. Tomemos a primeira:
2x+y+3z = 2\left(\frac{5}{9}+10t\right) + \left(-\frac{1}{9}+7t\right) + 3(-9t).
Calculando os termos constantes e em t:
Constantes: 2\cdot\frac{5}{9} -\frac{1}{9} = \frac{10-1}{9} = \frac{9}{9}=1.
Coeficiente de t: 2\cdot10 + 7 + 3\cdot(-9) = 20 +7 -27 =0.
Logo 2x+y+3z = 1 + 0\cdot t = 1, ok. A segunda equação verifica de modo análogo (fica 1). Isso confirma que a parametrização está correta.

Resposta

x=\dfrac{5}{9}+10t
y=-\dfrac{1}{9}+7t
z=-9t

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