Em cada item abaixo, determine a equação paramétrica da reta obtida como interseção dos planos dados.
e
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede a equação paramétrica da reta que é a interseção entre eles. As informações fornecidas são:
O que se pede: determinar uma representação paramétrica da reta formada pela interseção desses dois planos (ou seja, escrever
em função de um parâmetro real).
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): a interseção de dois planos, quando existe e não é um plano todo, é uma reta. Duas coisas úteis para obter a reta:
- Um vetor diretor da reta pode ser obtido como o produto vetorial (cross product) dos vetores normais aos planos. Isso porque o vetor diretor precisa ser perpendicular a ambos os normais.
- Um ponto particular da reta pode ser obtido resolvendo o sistema das duas equações dos planos atribuindo um valor conveniente a uma das variáveis (por exemplo
) e resolvendo para e .
Escolhi este método porque o produto vetorial dá direto o vetor diretor de forma simples, e escolher uma variável para um valor simples geralmente produz um ponto particular com contas fáceis.
Passo 3
Encontremos os vetores normais dos planos (peguei estes coeficientes das equações dadas):
- Para
o vetor normal é . - Para
o vetor normal é .
Agora calculamos o produto vetorial
. Lembrete rápido do produto vetorial: para
e
,
Aplicando a fórmula com
e
:
Agora calculamos cada componente separadamente:
Portanto um vetor diretor da reta é
Explicação rápida: esse vetor é perpendicular a ambos os normais, logo é paralelo à reta de interseção.
Passo 4
Agora precisamos de um ponto específico da reta. Vou pegar um valor simples para uma variável e resolver o sistema linear para as outras duas. Escolho
(escolha legítima: qualquer valor real funciona e simplifica contas). Substituindo
nas equações dadas (peguei esses termos das equações iniciais):
Agora resolvemos esse sistema 2×2. Podemos isolar
da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Desenvolvendo e somando termos semelhantes:
Logo
Substituindo em
:
Portanto um ponto da reta é
Resumo: peguei
das equações e resolvi para
obtendo o ponto acima.
Passo 5
Agora formamos a equação paramétrica da reta usando o ponto
e o vetor diretor
. Se
for o parâmetro, a forma vetorial é
Escrevendo em coordenadas paramétricas (uma forma prática para prova):
Observação: outro parâmetro equivalente poderia ser usado (trocar
por
etc.), as representações são todas a mesma reta, apenas com reparametrização.
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza): substituindo
acima nas equações dos planos deve satisfazê-las para todo
. Tomemos a primeira:
Calculando os termos constantes e em
:
Constantes:
Coeficiente de :
Logo , ok. A segunda equação verifica de modo análogo (fica
). Isso confirma que a parametrização está correta.
Constantes:
Coeficiente de
Logo