Para cada item abaixo, determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
x+2 y-3 z=4
3 x-y+5 z=2

Passo 1

O enunciado deu o sistema de duas equações lineares em três incógnitas:
x+2y-3z=4
3x-y+5z=2
E pediu: para quais valores de a o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
Observação importante: não há nenhum parâmetro a nas equações fornecidas. Vou então:
  • listar exatamente o que foi dado (já feito acima);
  • assumir que a pergunta com respeito a a se refere a classificar o sistema conforme um parâmetro, mas como não há a no sistema, a classificação será feita para o sistema tal como está (ou seja, independentemente de qualquer a). Não vou inventar um a.

Passo 2

Ideia e condições gerais (explicação didática e curta):
  • Temos n=3 incógnitas ( x,y,z) e m=2 equações. Em geral isso pode dar solução única, nenhuma ou infinitas, dependendo da independência das equações e da compatibilidade com os termos constantes.
  • Método prático: resolver por eliminação ou usar ranks. As regras de compatibilidade são:
    • se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=r<n então há infinitas soluções, com n-r graus de liberdade (parâmetros);
    • se \operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}([A|b]) então o sistema é incompatível (sem solução);
    • se \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=n então há solução única.
      Aqui A é a matriz dos coeficientes e [A|b] a matriz aumentada.

Passo 3

Escrevendo a matriz dos coeficientes A e o vetor dos termos constantes b:
A=\begin{pmatrix}1 & 2 & -3\\[4pt] 3 & -1 & 5\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Como as duas linhas de A não são múltiplas uma da outra (verificação: multiplicando a primeira linha por 3 obtém-se (3,6,-9), diferente de (3,-1,5)), concluímos já à vista que \operatorname{rank}(A)=2. Como a matriz aumentada também terá duas linhas linearmente independentes (os termos do lado direito não tornam as linhas proporcionais de modo contraditório), espera-se \operatorname{rank}([A|b])=2. Vou fazer eliminação para confirmar e obter as soluções.]

Passo 4

Resolução por substituição (passo a passo, sem pular contas):
Da primeira equação isolamos x:
x=4-2y+3z.
Substituímos na segunda equação:
3x-y+5z=2
3(4-2y+3z)-y+5z=2.
Agora desenvolvendo e simplificando (mostrando todas as contas):
12-6y+9z-y+5z=2,
12-7y+14z=2.
Passando o 12 para o outro lado:
-7y+14z=2-12=-10.
Multiplicando por -1:
7y-14z=10.
Dividindo por 7:
y-2z=\dfrac{10}{7}.
Então
y=2z+\dfrac{10}{7}.

Passo 5

Agora voltamos para x. Usando x=4-2y+3z e substituindo y:
x=4-2\!\left(2z+\dfrac{10}{7}\right)+3z.
Fazendo as contas com calma:
x=4-4z-\dfrac{20}{7}+3z=4-z-\dfrac{20}{7}.
Passando 4 para sétimos: 4=\dfrac{28}{7}, então
x=\dfrac{28}{7}-\dfrac{20}{7}-z=\dfrac{8}{7}-z.

Passo 6

Parâmetrização da solução:
  • seja z=t um parâmetro livre ( t\in\mathbb{R});
  • então
x=\dfrac{8}{7}-t,\qquad y=2t+\dfrac{10}{7},\qquad z=t.
Isto mostra explicitamente que há uma família infinita de soluções, com um grau de liberdade (um parâmetro t). Isso confirma também, via ranks, que \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=2<n=3, logo infinitas soluções (dimensão do espaço solução =3-2=1).

Passo 7

Interpretação final em relação ao parâmetro a pedido no enunciado:
  • Como não há parâmetro a nas equações dadas, a classificação não depende de a. Para o sistema fornecido, concluímos que ele tem infinitas soluções. Portanto não existem valores de a que façam o sistema ter exatamente uma solução ou nenhum solução — tais casos não ocorrem aqui porque não há a para variar.

Resposta

Não tem solução para nenhum valor de a.
Tem exatamente uma solução para nenhum valor de a.
Tem infinitas soluções para todo a (isto é, independentemente de a), e uma parametrização das soluções é
x=\dfrac{8}{7}-t,\qquad y=2t+\dfrac{10}{7},\qquad z=t,\quad t\in\mathbb{R}.

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