Para cada item abaixo, determine os valores de
com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
Passo 1
O enunciado deu o sistema de duas equações lineares em três incógnitas:
E pediu: para quais valores de
o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
Observação importante: não há nenhum parâmetro
nas equações fornecidas. Vou então:
- listar exatamente o que foi dado (já feito acima);
- assumir que a pergunta com respeito a
se refere a classificar o sistema conforme um parâmetro, mas como não há no sistema, a classificação será feita para o sistema tal como está (ou seja, independentemente de qualquer ). Não vou inventar um .
Passo 2
Ideia e condições gerais (explicação didática e curta):
- Temos
incógnitas ( ) e equações. Em geral isso pode dar solução única, nenhuma ou infinitas, dependendo da independência das equações e da compatibilidade com os termos constantes. - Método prático: resolver por eliminação ou usar ranks. As regras de compatibilidade são:
- se
então há infinitas soluções, com graus de liberdade (parâmetros); - se
então o sistema é incompatível (sem solução); - se
então há solução única.
Aquié a matriz dos coeficientes e a matriz aumentada.
- se
Passo 3
Escrevendo a matriz dos coeficientes
e o vetor dos termos constantes
:
Como as duas linhas de
não são múltiplas uma da outra (verificação: multiplicando a primeira linha por
obtém-se
, diferente de
), concluímos já à vista que
. Como a matriz aumentada também terá duas linhas linearmente independentes (os termos do lado direito não tornam as linhas proporcionais de modo contraditório), espera-se
. Vou fazer eliminação para confirmar e obter as soluções.]
Passo 4
Resolução por substituição (passo a passo, sem pular contas):
Da primeira equação isolamos :
Da primeira equação isolamos
Substituímos na segunda equação:
Agora desenvolvendo e simplificando (mostrando todas as contas):
Passando o
para o outro lado:
Multiplicando por
:
Dividindo por
:
Então
Passo 5
Agora voltamos para
. Usando
e substituindo
:
Fazendo as contas com calma:
Passando
para sétimos:
, então
Passo 6
Parâmetrização da solução:
- seja
um parâmetro livre ( ); - então
Isto mostra explicitamente que há uma família infinita de soluções, com um grau de liberdade (um parâmetro
). Isso confirma também, via ranks, que
, logo infinitas soluções (dimensão do espaço solução
).
Passo 7
Interpretação final em relação ao parâmetro
pedido no enunciado:
- Como não há parâmetro
nas equações dadas, a classificação não depende de . Para o sistema fornecido, concluímos que ele tem infinitas soluções. Portanto não existem valores de que façam o sistema ter exatamente uma solução ou nenhum solução — tais casos não ocorrem aqui porque não há para variar.
Resposta
Não tem solução para nenhum valor de
.
Tem exatamente uma solução para nenhum valor de
.
Tem infinitas soluções para todo
(isto é, independentemente de
), e uma parametrização das soluções é