Um poliedro convexo é formado por dez faces triangulares e dez faces pentagonais. Qual é o número de diagonais desse poliedro?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dá-se um poliedro convexo com
faces triangulares e faces pentagonais. - Pergunta-se: qual é o número de diagonais desse poliedro?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número de faces:
. - Cada face triangular tem
arestas; cada face pentagonal tem arestas. - O poliedro é convexo (isso garante que qualquer segmento entre dois vértices é interno ou sobre a superfície, e a contagem de pares de vértices funciona normalmente).
Passo 2
Definindo as incógnitas que vamos usar e uma relação básica entre faces e arestas:
- Seja
o número de vértices do poliedro. - Seja
o número de arestas do poliedro. - Seja
o número de faces (já sabemos ).
Uma relação simples entre faces e arestas vem de somar o número de lados de todas as faces: ao somar os lados de cada face, cada aresta do poliedro é contada exatamente duas vezes (porque cada aresta pertence a duas faces adjacentes). Portanto vale:
Passo 3
Calcular
a partir das faces dadas:
- Soma dos lados das faces =
faces triangulares lados + faces pentagonais lados.
Pela relação do passo anterior:
Portanto
.
Passo 4
Usar a fórmula de Euler para poliedros convexos para obter
:
A fórmula de Euler diz que para qualquer poliedro convexo vale
Substituindo
e
,
Logo
vértices.
Passo 5
Entender e contar as diagonais a partir de
e
:
- Diagonal (aqui) é qualquer segmento ligando dois vértices que não seja uma aresta do poliedro. Em termos de contagem: o número total de pares de vértices é
e desses pares correspondem a arestas. Então o número de diagonais é
Explicando a fórmula:
conta todos os segmentos entre dois vértices distintos (cada par de vértices forma um segmento). Subtrair
elimina os segmentos que já são arestas, restando exatamente os segmentos que são diagonais (estes podem ficar na face — diagonais de faces — ou atravessar o interior, mas todos são contados).
Passo 6
Calcular numericamente o número de diagonais:
Com
e
,
Resposta
191