Um poliedro que satisfaz a fórmula de Euler possui seis faces triangulares, cinco quadrangulares, quatro pentagonais e duas hexagonais. Determine a soma dos angulos internos de todas as faces desse poliedro.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de faces do poliedro e pede a soma dos ângulos internos de todas as faces. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número de faces triangulares:
. - Número de faces quadrangulares:
. - Número de faces pentagonais:
. - Número de faces hexagonais:
.
A pergunta a responder é: qual é a soma dos ângulos internos de todas essas faces (em graus)?
Passo 2
Fórmula que vamos usar: a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de
lados é
Explicação didática dessa fórmula: qualquer polígono convexo de
lados pode ser dividido em
triângulos traçando diagonais a partir de um vértice. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a
. Soma-se, então,
vezes
, obtendo a soma dos ângulos do polígono. Nas fórmulas abaixo,
representa o número de lados da face considerada.
Passo 3
Calcular a soma dos ângulos internos de cada tipo de face e multiplicar pelo número de faces desse tipo.
- Para cada triângulo (
):
Como há
triângulos, contribuição total dos triângulos:
- Para cada quadrilátero (
):
Como há
quadriláteros, contribuição total dos quadriláteros:
- Para cada pentágono (
):
Como há
pentágonos, contribuição total dos pentágonos:
- Para cada hexágono (
):
Como há
hexágonos, contribuição total dos hexágonos:
Passo 4
Somar as contribuições de todos os tipos de faces:
Fazendo a soma:
Também dá para ver que isso equivale a
porque a soma dos números de lados ponderada pelos faces foi
e a soma
sobre todas as faces é
(onde
é o número total de faces), o que confirma o fator
acima.