Um poliedro que satisfaz a fórmula de Euler possui seis faces triangulares, cinco quadrangulares, quatro pentagonais e duas hexagonais. Determine a soma dos angulos internos de todas as faces desse poliedro.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de faces do poliedro e pede a soma dos ângulos internos de todas as faces. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número de faces triangulares: 6.
  • Número de faces quadrangulares: 5.
  • Número de faces pentagonais: 4.
  • Número de faces hexagonais: 2.
A pergunta a responder é: qual é a soma dos ângulos internos de todas essas faces (em graus)?

Passo 2

Fórmula que vamos usar: a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é
(n-2)\times180^\circ.
Explicação didática dessa fórmula: qualquer polígono convexo de n lados pode ser dividido em (n-2) triângulos traçando diagonais a partir de um vértice. Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a 180^\circ. Soma-se, então, (n-2) vezes 180^\circ, obtendo a soma dos ângulos do polígono. Nas fórmulas abaixo, n representa o número de lados da face considerada.

Passo 3

Calcular a soma dos ângulos internos de cada tipo de face e multiplicar pelo número de faces desse tipo.
  • Para cada triângulo ( n=3):
(3-2)\times180^\circ = 1\times180^\circ = 180^\circ.
Como há 6 triângulos, contribuição total dos triângulos:
6\times180^\circ = 1080^\circ.
  • Para cada quadrilátero ( n=4):
(4-2)\times180^\circ = 2\times180^\circ = 360^\circ.
Como há 5 quadriláteros, contribuição total dos quadriláteros:
5\times360^\circ = 1800^\circ.
  • Para cada pentágono ( n=5):
(5-2)\times180^\circ = 3\times180^\circ = 540^\circ.
Como há 4 pentágonos, contribuição total dos pentágonos:
4\times540^\circ = 2160^\circ.
  • Para cada hexágono ( n=6):
(6-2)\times180^\circ = 4\times180^\circ = 720^\circ.
Como há 2 hexágonos, contribuição total dos hexágonos:
2\times720^\circ = 1440^\circ.

Passo 4

Somar as contribuições de todos os tipos de faces:
1080^\circ + 1800^\circ + 2160^\circ + 1440^\circ.
Fazendo a soma:
1080 + 1800 = 2880,
2880 + 2160 = 5040,
5040 + 1440 = 6480.
Também dá para ver que isso equivale a
36\times180^\circ = 6480^\circ,
porque a soma dos números de lados ponderada pelos faces foi 6\cdot3 + 5\cdot4 + 4\cdot5 + 2\cdot6 = 70 e a soma \sum (n-2) sobre todas as faces é 70 - 2\cdot17 = 36 (onde 17 é o número total de faces), o que confirma o fator 36 acima.

Resposta

6480^\circ

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