Em cada item abaixo, encontre as equações vetorial e geral do plano que passa pelos pontos P_{0}, P_{1} e P_{2}.
P_{0}=(-2,4,-2), P_{1}=(-1,3,8) e P_{2}=(5,4,0)

Passo 1

O enunciado pede as equações vetorial e geral do plano que passa pelos pontos \displaystyle P_{0}=(-2,4,-2), \displaystyle P_{1}=(-1,3,8) e \displaystyle P_{2}=(5,4,0).
O que vamos usar é que qualquer plano pode ser descrito por um ponto nele e dois vetores diretores, ou então por um vetor normal e a forma \,n\cdot(r-P_{0})=0.

Passo 2

Calculemos dois vetores diretores do plano a partir de P_{1}-P_{0} e P_{2}-P_{0}.
\mathbf{v} = P_{1}-P_{0} = \langle -1 - (-2),\,3-4,\,8-(-2)\rangle = \langle 1,\,-1,\,10\rangle,
\mathbf{w} = P_{2}-P_{0} = \langle 5-(-2),\,4-4,\,0-(-2)\rangle = \langle 7,\,0,\,2\rangle.

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é dado pelo produto vetorial \mathbf{v}\times\mathbf{w}.
\mathbf{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & -1 & 10\\\\ 7 & 0 & 2 \end{vmatrix} =\langle (-1)\cdot2 - 10\cdot0,\; -(1\cdot2 -10\cdot7),\;1\cdot0 -(-1)\cdot7\rangle =\langle -2,\;68,\;7\rangle.

Passo 4

A equação vetorial do plano é
\mathbf{r} =\langle -2,\,4,\,-2\rangle +s\,\langle 1,\,-1,\,10\rangle +t\,\langle 7,\,0,\,2\rangle,
onde s,t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para a forma geral (escalar), usamos \displaystyle \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-P_{0})=0.
Seja \mathbf{r}=\langle x,y,z\rangle, então
\langle -2,\,68,\,7\rangle\cdot\bigl\langle x-(-2),\,y-4,\,z-(-2)\bigr\rangle =0.
Isso expande para
-2(x+2)+68(y-4)+7(z+2)=0
\Longrightarrow -2x-4+68y-272+7z+14=0
\Longrightarrow -2x+68y+7z-262=0
Multiplicando tudo por -1, fica
2x -68y -7z +262 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r} =\langle -2,\,4,\,-2\rangle +s\,\langle 1,\,-1,\,10\rangle +t\,\langle 7,\,0,\,2\rangle, \quad s,t\in\mathbb{R}.
Equação geral (escalar):
2x -68y -7z +262 = 0.

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