Em cada item abaixo, encontre as equações vetorial e geral do plano que passa pelos pontos P_{0}, P_{1} e P_{2}.
P_{0}=(5,6,-3), P_{1}=(6,3,4) e P_{2}=(-2,0,2)

Passo 1

O enunciado pede a equação vetorial e a equação geral do plano que passa pelos pontos \;P_{0}=(5,6,-3),\;P_{1}=(6,3,4) e \;P_{2}=(-2,0,2).
Para obter a equação vetorial usamos dois vetores diretores obtidos subtraindo-se P_{0} dos outros pontos.
Para a equação geral precisamos do vetor normal ao plano, que vem do produto vetorial desses diretores, e então impomos n\cdot(X-P_{0})=0.

Passo 2

Calcular os vetores diretores a partir de P_{0}:
v = P_{1} - P_{0} = (6,3,4) - (5,6,-3) = (1,-3,7),
u = P_{2} - P_{0} = (-2,0,2) - (5,6,-3) = (-7,-6,5).
A equação vetorial do plano, usando parâmetros s,t, é
\mathbf{r}(s,t) = (5,6,-3) + s\,(1,-3,7) + t\,(-7,-6,5).

Passo 3

Encontrar o vetor normal n = v \times u:
n = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1 & -3 & 7\\\\ -7 & -6 & 5 \end{vmatrix} = (27,-54,-27).
Podemos simplificar dividindo por 27:
n = (1,-2,-1).
A equação geral vem de
n\cdot\bigl(x,y,z)-(n\cdot P_{0}) = 0,
isto é,
1(x-5)-2(y-6)-1(z+3)=0 \;\Longrightarrow\; x - 2y - z + 4 = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\mathbf{r}(s,t) = (5,6,-3) + s\,(1,-3,7) + t\,(-7,-6,5).
Equação geral:
x - 2y - z + 4 = 0.

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