Em cada item abaixo:
i) encontre o gradiente de f;
f(x, y, z)=x e^y+y e^z+z e^x ; P=(0,0,0) ; u=lang<= 5,1,-2rang<=.

Passo 1

Resumo do enunciado: vamos achar o gradiente de f(x,y,z)=x e^y + y e^z + z e^x e depois calcular a derivada direcional em P=(0,0,0) na direção de u=lang<=5,1,-2rang<=. Para isso precisamos das derivadas parciais, avaliar em P e normalizar u.

Passo 2

O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais nabla f = lang<= fx, fy, fzrang<=. Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 3

Derivada parcial em relação a x: ao derivar x e^y por x obtemos e^y e ao derivar z e^x por x obtemos z e^x. Logo
fx = e^y + z e^x

Passo 4

Derivada parcial em relação a y: derivando x e^y por y vem x e^y e de y e^z por y vem e^z. Assim
fy = x e^y + e^z

Passo 5

Derivada parcial em relação a z: de y e^z por z é y e^z e de z e^x por z é e^x. Portanto
fz = y e^z + e^x

Passo 6

Juntando, o gradiente geral é
nabla f(x,y,z) = lang<= e^y + z e^x,; x e^y + e^z,; y e^z + e^xrang<=

Passo 7

Agora vamos avaliar em P=(0,0,0). Como e^0=1, temos
nabla f(0,0,0)=lang<=1+0cdot1,;0cdot1+1,;0cdot1+1rang<= = lang<=1,1,1rang<=

Passo 8

Para a derivada direcional precisamos do vetor unidade de u. O comprimento de u é
|u| = raiz5^2+1^2+(-2)^2 = raiz30
Então
u0 = lang<=5raiz30,1raiz30,-2raiz30rang<=

Passo 9

O produto escalar entre nabla f(0,0,0) e u0 dá a derivada direcional:
nabla f(0,0,0)cdot u0 = 5+1-2raiz30 = 4raiz30

Resposta

Gradiente de f: nabla f(x,y,z) = lang<= e^y + z e^x,; x e^y + e^z,; y e^z + e^xrang<=. No ponto P: nabla f(0,0,0)=lang<=1,1,1rang<=. Derivada direcional em u: dfrac4raiz30.

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