Em cada item abaixo:
i) encontre o gradiente de
;
.
i) encontre o gradiente de
Passo 1
Resumo do enunciado: vamos achar o gradiente de
e depois calcular a derivada direcional em
na direção de
. Para isso precisamos das derivadas parciais, avaliar em
e normalizar
.
Passo 2
O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais
. Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 3
Derivada parcial em relação a
: ao derivar
por
obtemos
e ao derivar
por
obtemos
. Logo
Passo 4
Derivada parcial em relação a
: derivando
por
vem
e de
por
vem
. Assim
Passo 5
Derivada parcial em relação a
: de
por
é
e de
por
é
. Portanto
Passo 6
Juntando, o gradiente geral é
Passo 7
Agora vamos avaliar em
. Como
, temos
Passo 8
Para a derivada direcional precisamos do vetor unidade de
. O comprimento de
é
Então
Passo 9
O produto escalar entre
e
dá a derivada direcional:
Resposta
Gradiente de
:
. No ponto
:
. Derivada direcional em
:
.