4-integral0^2 integral0^pi2(x sen y) d y d x (R: 52-e^-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão 4 - integral0^2 integral0^pi2 x,sin y,dy,dx. O conteúdo envolvido é a avaliação de uma integral dupla iterada e usaremos a propriedade de Fubini e de separação de variáveis quando possível.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a integral interna em relação a y:
integral0^pi2 x,sin y,dy
Aqui x é tratado como constante, então:
[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x,\sin y,dy = x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin y,dy = x \bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = x\bigl(0 - ( -1)\bigr) = x.

Passo 3

Agora substituímos esse resultado na integral externa em x:
[
\int_{0}^{2} x,dx = \biggl[\frac{x{2}}{2}\biggr]_{0}{2} = \frac{2^{2}}{2} - 0 = 2.

Passo 4

Por fim, voltamos à expressão original e obtemos:
[
4 - \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x,\sin y,dy,dx = 4 - 2 = 2.

Passo 5

Observação: o resultado obtido é 2, que difere de 52 - e^-1 indicado no enunciado. Provavelmente houve um equívoco no valor fornecido.

Resposta

2

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