Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
. O conteúdo envolvido é a avaliação de uma integral dupla iterada e usaremos a propriedade de Fubini e de separação de variáveis quando possível.
Passo 2
Vamos primeiro calcular a integral interna em relação a
:
Aqui
é tratado como constante, então:
[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x,\sin y,dy = x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin y,dy = x \bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = x\bigl(0 - ( -1)\bigr) = x.
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x,\sin y,dy = x \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin y,dy = x \bigl[-\cos y\bigr]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = x\bigl(0 - ( -1)\bigr) = x.
Passo 3
Agora substituímos esse resultado na integral externa em
:
[
\int_{0}^{2} x,dx = \biggl[\frac{x{2}}{2}\biggr]_{0}{2} = \frac{2^{2}}{2} - 0 = 2.
\int_{0}^{2} x,dx = \biggl[\frac{x{2}}{2}\biggr]_{0}{2} = \frac{2^{2}}{2} - 0 = 2.
Passo 4
Por fim, voltamos à expressão original e obtemos:
[
4 - \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x,\sin y,dy,dx = 4 - 2 = 2.
4 - \int_{0}^{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x,\sin y,dy,dx = 4 - 2 = 2.
Passo 5
Observação: o resultado obtido é
, que difere de
indicado no enunciado. Provavelmente houve um equívoco no valor fornecido.
Resposta
2