Em cada item abaixo, encontre a série de Maclaurin da função dada. Sua resposta deve ser dada na forma de uma única série de potências. Dica: a função dada é a derivada de outra mais simples.
(a) (x-1) e^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin da função
f(x) = (x-1)e^{-x}.
O conteúdo principal é desenvolvimento em série de potências. Vamos usar a expansão de e^{-x} e depois manipular séries para obter uma única soma.

Passo 2

Sabemos que a série de Maclaurin de e^{-x} é
e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^n.

Passo 3

Podemos escrever
f(x)=x\,e^{-x}-e^{-x}
e desenvolver cada termo:
x\,e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^{n+1}, \qquad e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^n.
Logo
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\,x^{n+1} -\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\,x^n.

Passo 4

Reindexando o primeiro somatório via k=n+1 e renomeando k\to n, combinamos as duas séries numa única:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}-\frac{(-1)^n}{n!}\Bigr)x^n.

Passo 5

Para todo n\ge0 vale \frac1{(n-1)!}=\frac{n}{n!}, então
\frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}-\frac{(-1)^n}{n!} =\frac{(-1)^{n-1}}{n!}\,(n+1).
Assim obtemos a série em forma de soma única:

Resposta

(x-1)e^{-x} \;=\;\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{n+1}{n!}\;x^n.

Exercícios relacionados