Determine se a série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+1)}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+1)}{e^{n}}
se ela converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Vamos analisar primeiro a convergência absoluta usando o teste da razão na série dos valores absolutos.

Passo 2

Considere a série dos valores absolutos
\sum_{n=0}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n}(n+1)}{e^{n}}\right| = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{e^{n}}.
Aplique o teste da razão calculando
L = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{(n+2)}{e^{\,n+1}}}{\frac{(n+1)}{e^{\,n}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n+2}{n+1}\cdot\frac{1}{e} = \frac{1}{e}.
Como \tfrac{1}{e}<1, a série \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n+1}{e^{n}} converge.

Passo 3

Se a série dos valores absolutos converge, então a série original converge absolutamente (e, portanto, também converge).

Resposta

A série converge absolutamente.

Exercícios relacionados