Seja \mathbf{u}=\langle 2,3\rangle. Encontre um vetor com norma igual a 1 \mathrm{em}^{2} que tenha mesma direção e sentido que \mathbf{u}.

Passo 1

O enunciado pede um vetor em \mathbb{R}^2 com norma igual a 1 que tenha mesma direção e sentido de \mathbf{u}=\langle 2,3\rangle. Para isso, vamos usar a definição de vetor unitário paralelo a \mathbf{u}:
\hat{\mathbf{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}.

Passo 2

Calculamos a norma de \mathbf{u} aplicando a fórmula da norma em \mathbb{R}^2:
\|\mathbf{u}\| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.

Passo 3

Agora normalizamos \mathbf{u} dividindo cada componente por \|\mathbf{u}\|:
\hat{\mathbf{u}} = \frac{1}{\sqrt{13}}\langle 2,3\rangle = \Bigl\langle \frac{2}{\sqrt{13}},\,\frac{3}{\sqrt{13}}\Bigr\rangle.

Resposta

\displaystyle \Bigl\langle \frac{2}{\sqrt{13}},\,\frac{3}{\sqrt{13}}\Bigr\rangle

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