Em cada item abaixo, estude o crescimento de uma função adequada para provar as desigualdades enunciadas.
e^a>a^e para todo a>0, a neq e.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo a>0 com aneq e, vale
e^a > a^e
O conteúdo envolvido é estudo de crescimento de função via derivadas, para comparar diretamente os dois lados.

Passo 2

Definimos uma função cuja comparação de sinais nos dê a desigualdade desejada. Seja
h(a)=ln!l( e^a/a^er)
Note que, usando propriedades de logaritmo,
h(a)=ln( e^a)-ln(a^e)=a - e,ln(a)

Passo 3

Calculamos a derivada de h para estudar sua monotonicidade:
h'(a)=ddal(a - eln(a)r)=1-ea

Passo 4

Analisando o sinal de h'(a):
  • Se 0<a<e, então tfracea>1 e h'(a)<0, ou seja, h é decrescente em (0,e).
  • Se a>e, então tfracea<1 e h'(a)>0, ou seja, h é crescente em (e,+infty).

Passo 5

Da mudança de sinal de h' concluímos que h atinge seu mínimo em a=e. Calculamos
h(e)=e - eln(e)=e - ecdot1=0
Logo, para todo a>0 vale h(a)>=0, com igualdade apenas em a=e.

Passo 6

Como
h(a)=ln!l( e^a/a^er)>=0,
temos ln( e^a/a^e)>=0, isto é,
e^aa^e>=1,
e a desigualdade é estrita quando aneq e. Portanto
e^a>a^eforall,a>0,;aneq e

Resposta

e^a > a^e para todo a>0, aneq e.

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