Em cada item abaixo, estude o crescimento de uma função adequada para provar as desigualdades enunciadas.
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
com
, vale
O conteúdo envolvido é estudo de crescimento de função via derivadas, para comparar diretamente os dois lados.
Passo 2
Definimos uma função cuja comparação de sinais nos dê a desigualdade desejada. Seja
Note que, usando propriedades de logaritmo,
Passo 3
Calculamos a derivada de
para estudar sua monotonicidade:
Passo 4
Analisando o sinal de
:
- Se
, então e , ou seja, é decrescente em . - Se
, então e , ou seja, é crescente em .
Passo 5
Da mudança de sinal de
concluímos que
atinge seu mínimo em
. Calculamos
Logo, para todo
vale
, com igualdade apenas em
.
Passo 6
Como
temos
, isto é,
e a desigualdade é estrita quando
. Portanto