Resolva as seguintes equações:
raiz(x-3)^2+|x|=3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
raiz(x-3)^2 + |x| = 3x
O conteúdo aqui é manipulação de valor absoluto e de raiz quadrada de quadrado. Vamos usar que raiza^2=|a| e depois resolver tudo de forma piecewise, separando os casos conforme o sinal de x-3 e de x.

Passo 2

Usamos a identidade
raiz(x-3)^2 = |x-3|
Assim a equação vira
|x-3| + |x| = 3x

Passo 3

Precisamos dividir em intervalos definidos pelos pontos onde as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal, ou seja, x=0 e x=3. Os intervalos são:
  1. x<0
  2. 0 <= x < 3
  3. x>=3

Passo 4

Analisamos cada intervalo, substituindo os sinais:
  • Para x<0:
    |x-3|=3-x e |x|=-x. A equação fica
    (3-x) + (-x) = 3x Longrightarrow 3 - 2x = 3x Longrightarrow x = tfrac35
    Mas tfrac35=0,6 não pertence a x<0. Logo sem solução aqui.
  • Para 0 <= x < 3:
    |x-3|=3-x e |x|=x. A equação é
    (3-x) + x = 3x Longrightarrow 3 = 3x Longrightarrow x=1
    E 1 está em [0,3), então é solução válida.
  • Para x>=3:
    |x-3|=x-3 e |x|=x. A equação passa a ser
    (x-3) + x = 3x Longrightarrow 2x - 3 = 3x Longrightarrow x = -3,
    que não cabe em x>=3. Não há soluções neste intervalo.

Passo 5

O único valor que sobreviveu à checagem de intervalo é
x = 1

Resposta

1

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