Em cada item abaixo, estude o crescimento de uma função adequada para provar as desigualdades enunciadas.
1-1x <= ln x <= x-1 para todo x>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x>0,
1-1x<= ln x<= x-1
O conteúdo que vamos usar é estudo de crescimento de funções por meio de derivadas: definiremos funções auxiliares cuja positividade equivale às desigualdades desejadas e estudaremos seus extremos usando o sinal da derivada.

Passo 2

Provar ln x<= x-1. Definimos
f(x)=x-1-ln x
Calculamos a derivada:
f'(x)=1-1x
Observamos que f'(x)<0 quando 0<x<1 e f'(x)>0 quando x>1. Logo f decresce em (0,1) e cresce em (1,infty), atingindo mínimo em x=1. Como
f(1)=1-1-ln1=0,
segue f(x)>=0 para todo x>0. Daí
x-1-ln x>=0 Longrightarrow ln x<= x-1

Passo 3

Provar 1-1x<=ln x. Definimos
g(x)=ln x-l(1-1xr)=ln x+1x-1
A derivada é
g'(x)=1x-1x^2=x-1x^2
Temos g'(x)<0 para 0<x<1 e g'(x)>0 para x>1, logo g também atinge mínimo em x=1. Como
g(1)=ln1+1-1=0,
segue g(x)>=0 para todo x>0. Assim
ln x+1x-1>=0 Longrightarrow ln x>=1-1x

Resposta

Ficou demonstrado que, para todo x>0,
1-1x<= ln x<= x-1

Exercícios relacionados