Em cada item abaixo, estude o crescimento de uma função adequada para provar as desigualdades enunciadas.
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
O conteúdo que vamos usar é estudo de crescimento de funções por meio de derivadas: definiremos funções auxiliares cuja positividade equivale às desigualdades desejadas e estudaremos seus extremos usando o sinal da derivada.
Passo 2
Provar
. Definimos
Calculamos a derivada:
Observamos que
quando
e
quando
. Logo
decresce em
e cresce em
, atingindo mínimo em
. Como
segue
para todo
. Daí
Passo 3
Provar
. Definimos
A derivada é
Temos
para
e
para
, logo
também atinge mínimo em
. Como
segue
para todo
. Assim
Resposta
Ficou demonstrado que, para todo
,