Para cada item abaixo, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=0
b)
\begin{array}{r} 2 x-y-3 z=0 \\\\ -x+2 y-3 z=0 \\\ x+y+4 z=0 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede: para cada item, resolver o sistema linear dado.
  • Item (a): a equação fornecida é 2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=0.
    Pergunta: encontrar todas as soluções (x_{1},x_{2},x_{3}) que satisfazem essa igualdade.
  • Item (b): o sistema homogêneo de três equações e três incógnitas
\begin{array}{r} 2 x - y - 3 z = 0,\\[4pt] - x + 2 y - 3 z = 0,\\[4pt] x + y + 4 z = 0. \end{array}
Pergunta: encontrar todas as soluções (x,y,z) que satisfazem simultaneamente essas três equações.
Observações iniciais (informação útil que o enunciado dá):
  • Ambos os sistemas são homogêneos (lado direito igual a 0), então sempre existe pelo menos a solução trivial (tudo zero).
  • No item (a) há uma única equação com três incógnitas, portanto é esperável um espaço de soluções com dimensão maior que zero (infinitas soluções).
  • No item (b) há um sistema 3×3; pode ter solução trivial ou também infinitas soluções dependendo da independência das equações.]

Passo 2

Mini-aula rápida sobre estratégias (sem fórmulas complicadas):
  • Quando há menos equações que incógnitas (como no item (a)), escolhe-se algumas incógnitas como parâmetros livres e escreve-se as restantes em função desses parâmetros. Esses parâmetros representam graus de liberdade da solução.
  • Para sistemas quadrados (item (b)), uma forma prática é eliminar incógnitas por eliminação de Gauss (operações elementares entre equações) até obter equações simples que permitam resolver as variáveis. Em sistemas homogêneos, se a matriz dos coeficientes for invertível (determinante não nulo), a única solução é a trivial; se não for invertível, há infinitas soluções.
Vou aplicar esses princípios: parametrização para (a) e eliminação de Gauss para (b), explicando cada passo.

Passo 3

Resolução do item (a). Começo isolando x_{1} na equação
2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=0.
Subtraio x_{2}+3x_{3} e divido por 2:
2 x_{1} = -x_{2}-3x_{3} \quad\Rightarrow\quad x_{1} = -\tfrac{1}{2}x_{2} - \tfrac{3}{2}x_{3}.
Explicando: como só há uma equação, podemos escolher x_{2} e x_{3} arbitrariamente (são parâmetros livres). Vamos denotá-los por parâmetros \,s e \,t, isto é:
x_{2} = s,\qquad x_{3} = t,\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Substituindo na expressão de x_{1} obtemos a forma paramétrica da solução:
x_{1} = -\tfrac{1}{2}s - \tfrac{3}{2}t.
Escrevendo a solução como vetor em função de s e t:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}s - \tfrac{3}{2}t\\[4pt] s\\[4pt] t\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Interpretação prática: o conjunto de soluções é um plano através da origem em \mathbb{R}^{3} gerado pelos vetores \bigl(-\tfrac{1}{2},1,0\bigr)^{T} e \bigl(-\tfrac{3}{2},0,1\bigr)^{T}. Exemplos concretos: para s=1,t=0 a solução é \bigl(-\tfrac{1}{2},1,0\bigr); para s=0,t=2 a solução é \bigl-3,0,2\bigr).]

Passo 4

Preparação para item (b): montar o sistema em forma de equações e aplicar operações lineares entre elas para eliminar incógnitas passo a passo. Escrevo as equações novamente para referência:
\begin{array}{r} 2 x - y - 3 z = 0,\\[4pt] - x + 2 y - 3 z = 0,\\[4pt] x + y + 4 z = 0. \end{array}
Estratégia: usar combinações inteiras das equações para eliminar x das equações 2 e 3, mantendo inteiros para evitar frações até o fim.]

Passo 5

Eliminação passo a passo (operações entre equações, com explicação):
  • Chamo as equações originais de E_{1},E_{2},E_{3} na mesma ordem. Faço as operações inteiras:
    • Nova E_{2} \leftarrow 2E_{2} + E_{1}. Calculo: 2E_{2}: 2(-x + 2y -3z)= -2x +4y -6z,somando E_{1} (que é 2x - y -3z) obtemos (-2x+4y-6z) + (2x - y -3z) = 0x + 3y -9z.Logo a nova E_{2} é 3y - 9z = 0.
    • Nova E_{3} \leftarrow 2E_{3} - E_{1}. Calculo: 2E_{3}: 2(x + y +4z)= 2x +2y +8z,subtraindo E_{1} ( 2x - y -3z) obtemos (2x+2y+8z) - (2x - y -3z) = 0x +3y +11z.Logo a nova E_{3} é 3y + 11z = 0.
Após essas operações o sistema equivalente é
\begin{array}{r} 2 x - y - 3 z = 0,\\[4pt] 3 y - 9 z = 0,\\[4pt] 3 y + 11 z = 0. \end{array}]

Passo 6

Continuo a eliminação nas duas últimas equações para obter z:
  • Subtraio a nova E_{2} da nova E_{3}:
(3y + 11z) - (3y - 9z) = 20 z = 0.
Logo
20 z = 0 \quad\Rightarrow\quad z = 0.
  • Com z=0, uso a equação 3y - 9z = 0 para obter y:
3y - 9\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 0.
  • Finalmente, com y=0 e z=0, uso E_{1} para obter x:
2x - y - 3z = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x - 0 - 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0.
Concluímos que a única solução do sistema é a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0).

Passo 7

Interpretação final e verificação curta: o sistema homogêneo de (b) só tem a solução trivial; isso indica que as três equações são linearmente independentes (a matriz dos coeficientes é invertível). Uma verificação rápida seria calcular o determinante da matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix}2 & -1 & -3\\[4pt]-1 & 2 & -3\\[4pt]1 & 1 & 4\end{pmatrix},
que dá \det(A)=30\neq 0, confirmando invertibilidade e, portanto, unicidade da solução trivial. (Esse cálculo é só para checar; a eliminação já deu a resposta.)]

Resposta

\displaystyle \text{(a) } \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{2}\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-\tfrac{3}{2}\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad s,t\in\mathbb{R}.
\displaystyle \text{(b) } (x,y,z)=(0,0,0)]

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