Para cada item abaixo, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=0
a)
\begin{aligned} x_{1}+2 x_{2} & =0 \\\ x_{2}+x_{3} & =0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear formado pelas três equações abaixo, encontrando os valores de x_{1},x_{2},x_{3}:
2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=0
a)
\begin{aligned} x_{1}+2 x_{2} &=0\\\ x_{2}+x_{3} &=0 \end{aligned}
Informações e objetivos que temos:
  • Existem três incógnitas: x_{1},x_{2},x_{3}.
  • Temos três equações lineares (uma escrita separadamente e duas no item a)).
  • O objetivo é determinar os valores de x_{1},x_{2},x_{3} que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o método da substituição porque as duas equações do item a) estão já quase isoladas (uma delas relaciona diretamente x_{2} e x_{3}, a outra relaciona x_{1} e x_{2}).
Breve explicação do método da substituição (passo-a-passo didático):
  • A ideia é isolar uma incógnita numa equação simples e substituir essa expressão nas outras equações, reduzindo o número de incógnitas.
  • Isso transforma o sistema em outro sistema com menos variáveis até ficar com uma única equação numa única incógnita.
  • Depois resolve-se essa equação e retro-substitui para obter as demais incógnitas.

Passo 3

Isolar x_{3} a partir da equação x_{2}+x_{3}=0.
A equação é
x_{2}+x_{3}=0.
Isolando x_{3}:
x_{3}=-x_{2}.
Explicação: subtrai-se x_{2} dos dois lados da igualdade para deixar x_{3} sozinho.

Passo 4

Isolar x_{1} a partir da equação x_{1}+2 x_{2}=0.
A equação é
x_{1}+2 x_{2}=0.
Isolando x_{1}:
x_{1}=-2 x_{2}.
Explicação: subtrai-se 2x_{2} dos dois lados para obter x_{1} em função de x_{2}.

Passo 5

Substituir as expressões encontradas para x_{1} e x_{3} na primeira equação \,2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=0\,.
A primeira equação é
2 x_{1}+x_{2}+3 x_{3}=0.
Substituindo x_{1}=-2 x_{2} e x_{3}=-x_{2} obtemos
2(-2 x_{2}) + x_{2} + 3(-x_{2}) = 0.

Passo 6

Fazer as operações algébricas na equação substituída:
2(-2 x_{2}) + x_{2} + 3(-x_{2}) = -4 x_{2} + x_{2} -3 x_{2}.
Somando os coeficientes de x_{2}:
-4 x_{2} + x_{2} -3 x_{2} = (-4 + 1 -3)x_{2} = -6 x_{2}.
Portanto a equação fica
-6 x_{2} = 0.
Dividindo ambos os lados por -6 (número diferente de zero) obtemos
x_{2}=0.
Explicação: quando uma equação linear em uma variável tem coeficiente não nulo, só existe a solução que anula o lado direito; aqui o lado direito é zero, então a única solução é x_{2}=0.

Passo 7

Retro-substituir x_{2}=0 nas expressões obtidas para x_{1} e x_{3}:
x_{1}=-2 x_{2} = -2\cdot 0 = 0,
x_{3}=-x_{2} = -0 = 0.
Portanto todas as incógnitas valem zero.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida:
  • A solução encontrada é (x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0).
  • Verificação rápida substituindo na primeira equação:
2\cdot 0 + 0 + 3\cdot 0 = 0,
e nas outras duas:
0 + 2\cdot 0 = 0,\qquad 0 + 0 = 0,
todas satisfeitas. Conclusão: solução correta e única.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0)

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