Para cada item abaixo, resolva o sistema linear por eliminação de Gauss-Jordan.
\begin{aligned}-2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3} & =1 \\\ 8 x_{1}+x_{2}+4 x_{3} & =-1\end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear com três incógnitas e duas equações. Especificando o que é pedido e os dados:
  • Sistema dado:
\begin{aligned} -2x_{1}+5x_{2}+2x_{3} &= 1,\\[4pt] 8x_{1}+x_{2}+4x_{3} &= -1. \end{aligned}
  • O que se pede: resolver o sistema usando eliminação de Gauss-Jordan (ou seja, encontrar todas as soluções, se existirem).]

Passo 2

Breve explicação do método (passo a passo do que vou fazer):
  • Representar o sistema por sua matriz aumentada e aplicar operações elementares sobre linhas até obter a forma reduzida por linhas (RREF), onde cada linha-pivô tem um 1 líder e zeros nas outras linhas naquela coluna.
  • Operações elementares permitidas (podem ser usadas livremente):
    1. trocar duas linhas,
    2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo,
    3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
  • Se o número de pivôs for menor que o número de incógnitas, algumas incógnitas serão livres (parâmetros) e a solução será descrita em função desses parâmetros.

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada do sistema (pegando os coeficientes e termos constantes do enunciado):
\left[\begin{array}{ccc|c} -2 & 5 & 2 & 1\\[4pt] 8 & 1 & 4 & -1 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminar o termo em x_{1} da segunda linha usando a primeira linha. Como 8 + 4\cdot(-2)=0, faço R_2 \leftarrow R_2 + 4R_1. Cálculo componente a componente:
  • Primeira coluna: 8 + 4(-2)=0.
  • Segunda coluna: 1 + 4\cdot 5 = 1 + 20 = 21.
  • Terceira coluna: 4 + 4\cdot 2 = 4 + 8 = 12.
  • Termo independente: -1 + 4\cdot 1 = -1 + 4 = 3.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} -2 & 5 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 21 & 12 & 3 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora quero pivôs iguais a 1. Faço escalonamentos:
  • Divido a primeira linha por -2: R_1 \leftarrow \dfrac{1}{-2} R_1. Resultado: R_1 = \left[1,\; -\dfrac{5}{2},\; -1 \;\middle|\; -\dfrac{1}{2}\right].
  • Divido a segunda linha por 21: R_2 \leftarrow \dfrac{1}{21} R_2. Resultado (simplificando frações): R_2 = \left[0,\; 1,\; \dfrac{12}{21},\; \dfrac{3}{21}\right] = \left[0,\;1,\;\dfrac{4}{7}\;\middle|\;\dfrac{1}{7}\right].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -\dfrac{5}{2} & -1 & -\dfrac{1}{2}\\[6pt] 0 & 1 & \dfrac{4}{7} & \dfrac{1}{7} \end{array}\right].]

Passo 6

Eliminar o termo em x_{2} da primeira linha para obter zeros acima do pivô da segunda linha (etapa típica do Gauss-Jordan). A primeira linha tem coeficiente -\dfrac{5}{2} em x_{2}, então faço
R_1 \leftarrow R_1 + \frac{5}{2}R_2.
Calculemos componente a componente:
  • Coluna x_1: 1 + \frac{5}{2}\cdot 0 = 1.
  • Coluna x_2: -\dfrac{5}{2} + \frac{5}{2}\cdot 1 = 0.
  • Coluna x_3: -1 + \frac{5}{2}\cdot \dfrac{4}{7} = -1 + \dfrac{20}{14} = -1 + \dfrac{10}{7} = \dfrac{3}{7}.
  • Termo independente: -\dfrac{1}{2} + \frac{5}{2}\cdot \dfrac{1}{7} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{14} = -\dfrac{7}{14} + \dfrac{5}{14} = -\dfrac{2}{14} = -\dfrac{1}{7}.
A matriz em forma reduzida por linhas (RREF) é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \dfrac{3}{7} & -\dfrac{1}{7}\\[6pt] 0 & 1 & \dfrac{4}{7} & \dfrac{1}{7} \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretando a RREF:
  • As equações correspondentes são \begin{aligned} x_{1} + \dfrac{3}{7}x_{3} &= -\dfrac{1}{7},\\[6pt] x_{2} + \dfrac{4}{7}x_{3} &= \dfrac{1}{7}. \end{aligned}
  • Há três incógnitas e apenas dois pivôs (em x_{1} e x_{2}), então x_{3} é variável livre. Chamo x_{3}=t, com t\in\mathbb{R}.
Resolvendo em função de t:
\begin{aligned} x_{1} &= -\dfrac{1}{7} - \dfrac{3}{7}t = \dfrac{-1-3t}{7},\\[6pt] x_{2} &= \dfrac{1}{7} - \dfrac{4}{7}t = \dfrac{1-4t}{7},\\[6pt] x_{3} &= t,\qquad t\in\mathbb{R}. \end{aligned}
Verificação rápida (exemplo): para t=0 obtemos x_{1}=-\dfrac{1}{7}, x_{2}=\dfrac{1}{7}, x_{3}=0. Substituindo no sistema original:
-2\!\left(-\tfrac{1}{7}\right)+5\!\left(\tfrac{1}{7}\right)+2\cdot 0 = \tfrac{2}{7}+\tfrac{5}{7}=1,
8\!\left(-\tfrac{1}{7}\right)+\tfrac{1}{7}+4\cdot 0 = -\tfrac{8}{7}+\tfrac{1}{7}=-1,
ou seja, satisfaz as equações. Portanto a solução encontrada está correta.]

Passo 8

Resumo final: o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por t. Dá para apresentar a solução também em forma vetorial se quiser:
(x_{1},x_{2},x_{3}) = \left(\dfrac{-1}{7},\dfrac{1}{7},0\right) + t\left(\dfrac{-3}{7},\dfrac{-4}{7},1\right),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

x_{1}=\dfrac{-1-3t}{7}\
x_{2}=\dfrac{1-4t}{7}\
x_{3}=t,\quad t\in\mathbb{R}

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