Indique o efeito sobre o quadrado unitário das transformações dadas pelas seguintes matrizes: \left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: aplicar a transformação linear dada pela matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
ao quadrado unitário e indicar o efeito geométrico. Informação disponível (do próprio enunciado):
A matriz A tem entradas a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=2, a_{22}=1.
O quadrado unitário tem vértices (no plano) nos pontos (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).
O que preciso entregar: descrever para onde vão esses pontos, que figura o quadrado vira, e propriedades importantes (área, orientação, tipo de transformação).]
Passo 2
Entendendo como a matriz age em vetores (a ideia que usamos na prova).
Uma matriz 2\times2 aplicada a um vetor (x,y) produz um novo vetor A(x,y). Isso representa uma transformação linear do plano.
As colunas de A são exatamente as imagens dos vetores base padrão \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1). Ou seja:A\mathbf{e}_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix},\qquad A\mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Explicando devagar: isso significa que a primeira coluna diz para onde vai o ponto (1,0), e a segunda coluna diz para onde vai (0,1). Como o quadrado unitário é gerado por combinações desses vetores, suas imagens ficam determinadas por essas colunas.]
Passo 3
Calcular as imagens dos vértices do quadrado unitário (cada vértice é combinação linear de \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2).
A(0,0)=(0,0) (origem fica na origem porque a transformação é linear).
Esses quatro pontos formam um paralelogramo (a imagem do quadrado unitário).]
Passo 4
Interpretando geometricamente a forma do paralelogramo.
As arestas que saíam da origem pelo vetor \mathbf{e}_1 vai para (1,2) e pelo vetor \mathbf{e}_2 vai para (0,1). Logo a imagem do quadrado é o paralelogramo gerado pelos vetores coluna \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
Podemos ver a regra de mapeamento em coordenadas: para um ponto arbitrário (x,y),A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[2pt]2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\[2pt]2x+y\end{pmatrix}.Isso mostra diretamente que a abscissa (x) permanece igual e a ordenada (y) é somada a 2x. Em palavras: cada ponto é deslocado verticalmente por uma quantidade proporcional à sua abscissa. Isso é precisamente um cisalhamento (shear) vertical com intensidade 2.]
Passo 5
Cálculo do determinante — interpretação do fator de escala de área e orientação.
Determinante de A:\det(A)=1\cdot1-0\cdot2=1.
Interpretação: o determinante dá o fator de escala de área da transformação linear. Como \det(A)=1, a transformação preserva área (a área do paralelogramo imagem é 1, igual à área do quadrado unitário).
Sinal do determinante: é positivo, portanto a orientação é preservada (não houve reflexão).
Passo 6
Outras observações úteis para a prova (o que decorar/praticar).
Tipo de transformação: cisalhamento vertical (as abscissas não mudam; as ordenadas recebem 2 vezes a abscissa).
Vetor fixo: \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} é um autovetor com autovalor 1 (porque a segunda coluna é igual a \mathbf{e}_2), isto é, pontos na direção de (0,1) não mudam de direção.
Área preservada e sem reflexão — isso geralmente se checa calculando \det.
Resposta
Cisalhamento vertical de intensidade 2: o quadrado unitário é levado ao paralelogramo com vértices (0,0), (1,2), (1,3) e (0,1); a área é preservada (\det(A)=1) e a orientação é preservada (sem reflexão).