Indique o efeito sobre o quadrado unitário das transformações dadas pelas seguintes matrizes:
\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: aplicar a transformação linear dada pela matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}
ao quadrado unitário e indicar o efeito geométrico. Informação disponível (do próprio enunciado):
  • A matriz A tem entradas a_{11}=1, a_{12}=0, a_{21}=2, a_{22}=1.
  • O quadrado unitário tem vértices (no plano) nos pontos (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1).
O que preciso entregar: descrever para onde vão esses pontos, que figura o quadrado vira, e propriedades importantes (área, orientação, tipo de transformação).]

Passo 2

Entendendo como a matriz age em vetores (a ideia que usamos na prova).
  • Uma matriz 2\times2 aplicada a um vetor (x,y) produz um novo vetor A(x,y). Isso representa uma transformação linear do plano.
  • As colunas de A são exatamente as imagens dos vetores base padrão \mathbf{e}_1=(1,0) e \mathbf{e}_2=(0,1). Ou seja: A\mathbf{e}_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix},\qquad A\mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Explicando devagar: isso significa que a primeira coluna diz para onde vai o ponto (1,0), e a segunda coluna diz para onde vai (0,1). Como o quadrado unitário é gerado por combinações desses vetores, suas imagens ficam determinadas por essas colunas.]

Passo 3

Calcular as imagens dos vértices do quadrado unitário (cada vértice é combinação linear de \mathbf{e}_1 e \mathbf{e}_2).
  • A(0,0)=(0,0) (origem fica na origem porque a transformação é linear).
  • A(1,0)=A\mathbf{e}_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
  • A(0,1)=A\mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  • A(1,1)=A(\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2)=A\mathbf{e}_1+A\mathbf{e}_2=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Portanto os vértices do quadrado unitário são levados em ordem para
(0,0),\quad \bigl(1,2\bigr),\quad \bigl(1,3\bigr),\quad \bigl(0,1\bigr).
Esses quatro pontos formam um paralelogramo (a imagem do quadrado unitário).]

Passo 4

Interpretando geometricamente a forma do paralelogramo.
  • As arestas que saíam da origem pelo vetor \mathbf{e}_1 vai para (1,2) e pelo vetor \mathbf{e}_2 vai para (0,1). Logo a imagem do quadrado é o paralelogramo gerado pelos vetores coluna \begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Podemos ver a regra de mapeamento em coordenadas: para um ponto arbitrário (x,y), A\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[2pt]2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\[2pt]2x+y\end{pmatrix}.Isso mostra diretamente que a abscissa ( x) permanece igual e a ordenada ( y) é somada a 2x. Em palavras: cada ponto é deslocado verticalmente por uma quantidade proporcional à sua abscissa. Isso é precisamente um cisalhamento (shear) vertical com intensidade 2.]

Passo 5

Cálculo do determinante — interpretação do fator de escala de área e orientação.
  • Determinante de A: \det(A)=1\cdot1-0\cdot2=1.
  • Interpretação: o determinante dá o fator de escala de área da transformação linear. Como \det(A)=1, a transformação preserva área (a área do paralelogramo imagem é 1, igual à área do quadrado unitário).
  • Sinal do determinante: é positivo, portanto a orientação é preservada (não houve reflexão).

Passo 6

Outras observações úteis para a prova (o que decorar/praticar).
  • Tipo de transformação: cisalhamento vertical (as abscissas não mudam; as ordenadas recebem 2 vezes a abscissa).
  • Vetor fixo: \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} é um autovetor com autovalor 1 (porque a segunda coluna é igual a \mathbf{e}_2), isto é, pontos na direção de (0,1) não mudam de direção.
  • Área preservada e sem reflexão — isso geralmente se checa calculando \det.

Resposta

Cisalhamento vertical de intensidade 2: o quadrado unitário é levado ao paralelogramo com vértices (0,0), (1,2), (1,3) e (0,1); a área é preservada ( \det(A)=1) e a orientação é preservada (sem reflexão).

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