Em cada item abaixo, resolva o sistema linear usando matriz inversa.
\left\{\begin{array}{l}-x_{1}+5 x_{2}=4 \\\\ -x_{1}-3 x_{2}=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear usando matriz inversa. O sistema dado é:
\begin{cases} -x_{1}+5x_{2}=4\\[4pt] -x_{1}-3x_{2}=1 \end{cases}
Informações relevantes que temos: os coeficientes das incógnitas e os termos independentes (à direita). A tarefa é encontrar (x_{1},x_{2}) usando a inversa da matriz dos coeficientes.]

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial \;A\mathbf{x}=\mathbf{b}\;, onde:
A=\begin{pmatrix}-1 & 5\\[4pt]-1 & -3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Aqui cada entrada de A é o coeficiente correspondente às incógnitas nas equações (linha 1 corresponde à primeira equação, linha 2 à segunda). Nosso objetivo é obter \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}, se A for invertível.]

Passo 3

Regra (fórmula) prática para matrizes 2\times2: para
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
a inversa (quando existir) é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
onde o determinante é \det(A)=ad-bc.
Explicando: \det(A) é um número que diz se a matriz é invertível (se \det(A)\neq 0, a matriz tem inversa). A matriz que aparece multiplicada por 1/\det(A) é a adjunta (ou adjugata) da matriz original, obtida trocando os elementos da diagonal e trocando de sinal os elementos fora da diagonal.]

Passo 4

Aplicamos essa fórmula ao nosso A. Identificamos:
a=-1,\quad b=5,\quad c=-1,\quad d=-3.
Calculamos o determinante:
\det(A)=ad-bc = (-1)\cdot(-3) - 5\cdot(-1) = 3 + 5 = 8.
Como \det(A)=8\neq 0, a matriz A é invertível e podemos usar a fórmula da inversa.

Passo 5

Calculamos a adjugata (matriz trocando diagonal e invertendo sinais das outras entradas):
\text{adj}(A)=\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & -5\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Logo a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{8}\begin{pmatrix}-3 & -5\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora usamos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Primeiro multiplicamos a matriz inteira (sem o 1/8 ainda) por \mathbf{b}:
\begin{pmatrix}-3 & -5\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\cdot 4 + (-5)\cdot 1\\[4pt]1\cdot 4 + (-1)\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-12 -5\\[4pt]4 -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-17\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora aplicamos o fator 1/8:
\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}=\frac{1}{8}\begin{pmatrix}-17\\[4pt]3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\dfrac{17}{8}\\[8pt]\dfrac{3}{8}\end{pmatrix}.
Portanto \;x_{1}=-\dfrac{17}{8}\; e \;x_{2}=\dfrac{3}{8}\;.]

Passo 8

Vamos checar substituindo na equação original (sempre bom verificar na prova):
Primeira equação:
- x_{1}+5x_{2} = -\Big(-\frac{17}{8}\Big)+5\cdot\frac{3}{8} = \frac{17}{8}+\frac{15}{8}=\frac{32}{8}=4.
Segunda equação:
- x_{1}-3x_{2} = -\Big(-\frac{17}{8}\Big)-3\cdot\frac{3}{8} = \frac{17}{8}-\frac{9}{8}=\frac{8}{8}=1.
As duas iguaisdades batem com os termos independentes, então a solução está correta. Parabéns — conseguiu!

Resposta

\displaystyle x_{1}=-\frac{17}{8}\
\displaystyle x_{2}=\frac{3}{8}

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