Em cada item abaixo, resolva o sistema linear usando matriz inversa.
\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}-2 x_{2}=4 \\\ x_{1}+4 x_{2}=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede para resolvê‑lo, usando matriz inversa:
\begin{cases} 2x_{1}-2x_{2}=4,\\[4pt] x_{1}+4x_{2}=4. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • São duas incógnitas: \,x_{1} e \,x_{2}.
  • Temos duas equações lineares (coeficientes e termos independentes estão explícitos).
  • A tarefa é encontrar os valores de \,x_{1} e \,x_{2} aplicando o método da matriz inversa (isto é, escrever o sistema como A\mathbf{x}=\mathbf{b} e calcular \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}).]

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever o sistema na forma matricial \,A\mathbf{x}=\mathbf{b}.
  • A matriz dos coeficientes \,A contém as entradas que multiplicam \,x_{1} e \,x_{2} em cada equação.
  • O vetor incógnita é \,\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}.
  • O vetor dos termos independentes é \,\mathbf{b}, formado pelos lados direitos das equações.
    Portanto:
A=\begin{pmatrix}2 & -2\\[4pt]1 & 4\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]4\end{pmatrix}.]

Passo 3

Vamos usar a fórmula da inversa para matrizes 2\times2. Se
A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
então a inversa (quando existir) é
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
onde \det(A) é o determinante de A dado por
\det(A)=ad-bc.
Explicando as letras: a,b,c,d são as entradas da matriz A conforme a posição (linha, coluna). A inversa só existe se \det(A)\neq 0. Depois de obter A^{-1} calculamos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}.]

Passo 4

Calcular o determinante de A. Aqui a=2, b=-2, c=1, d=4. Então
\det(A)=ad-bc=2\cdot 4 - (-2)\cdot 1 = 8 - (-2) = 10.
Como \det(A)=10\neq 0, a inversa existe.

Passo 5

Calcular A^{-1} usando a fórmula. Primeiro a matriz adjunta (trocar a e d e mudar sinal de b e c):
\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos por 1/\det(A)=1/10:
A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{4}{10} & \tfrac{2}{10}\\[4pt]-\tfrac{1}{10} & \tfrac{2}{10}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt]-\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calculamos \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Multiplicação de matriz 2\times2 por vetor 2\times1:
\mathbf{x}= \begin{pmatrix}\tfrac{2}{5} & \tfrac{1}{5}\\[4pt]-\tfrac{1}{10} & \tfrac{1}{5}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\[4pt]4\end{pmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • Primeiro componente ( x_{1}):
x_{1}=\tfrac{2}{5}\cdot 4 + \tfrac{1}{5}\cdot 4 =\tfrac{8}{5}+\tfrac{4}{5}=\tfrac{12}{5}.
  • Segundo componente ( x_{2}):
x_{2}=-\tfrac{1}{10}\cdot 4 + \tfrac{1}{5}\cdot 4 =-\tfrac{4}{10}+\tfrac{4}{5}=-\tfrac{2}{5}+\tfrac{4}{5}=\tfrac{2}{5}.]

Passo 7

Verificação rápida (substituir de volta nas equações originais):
  • Na primeira equação:
2x_{1}-2x_{2}=2\cdot \tfrac{12}{5} - 2\cdot \tfrac{2}{5} =\tfrac{24}{5}-\tfrac{4}{5}=\tfrac{20}{5}=4.
  • Na segunda equação:
x_{1}+4x_{2}=\tfrac{12}{5}+4\cdot \tfrac{2}{5} =\tfrac{12}{5}+\tfrac{8}{5}=\tfrac{20}{5}=4.
Ambas conferem com os termos independentes, logo a solução está correta.

Passo 8

Resumo didático (dicas para a prova):
  • Para um sistema 2\times2 a fórmula da inversa é rápida: calcule \det(A), forme a matriz \begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix} e divida por \det(A).
  • Sempre verifique \det(A)\neq 0 antes de tentar inverter.
  • Em prova, se pedirem explicitamente “usar matriz inversa”, execute esses passos; se não pedirem, eliminação ou Cramer podem ser mais rápidos em certos casos.
  • Você fez certo em seguir método pedido; manda ver — você manda bem!]

Resposta

x_{1}=\tfrac{12}{5}
x_{2}=\tfrac{2}{5}

Exercícios relacionados