Em cada item abaixo, resolva o sistema linear usando matriz inversa.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede para resolvê‑lo, usando matriz inversa:
Informações relevantes fornecidas:
- São duas incógnitas:
e . - Temos duas equações lineares (coeficientes e termos independentes estão explícitos).
- A tarefa é encontrar os valores de
e aplicando o método da matriz inversa (isto é, escrever o sistema como e calcular ).]
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever o sistema na forma matricial
.
- A matriz dos coeficientes
contém as entradas que multiplicam e em cada equação. - O vetor incógnita é
. - O vetor dos termos independentes é
, formado pelos lados direitos das equações.
Portanto:
Passo 3
Vamos usar a fórmula da inversa para matrizes
. Se
então a inversa (quando existir) é
onde
é o determinante de
dado por
Explicando as letras:
são as entradas da matriz
conforme a posição (linha, coluna). A inversa só existe se
. Depois de obter
calculamos
.]
Passo 4
Calcular o determinante de
. Aqui
,
,
,
. Então
Como
, a inversa existe.
Passo 5
Calcular
usando a fórmula. Primeiro a matriz adjunta (trocar
e
e mudar sinal de
e
):
Agora multiplicamos por
:
Passo 6
Agora calculamos
. Multiplicação de matriz
por vetor
:
Calculando componente a componente:
- Primeiro componente (
):
- Segundo componente (
):
Passo 7
Verificação rápida (substituir de volta nas equações originais):
- Na primeira equação:
- Na segunda equação:
Ambas conferem com os termos independentes, logo a solução está correta.
Passo 8
Resumo didático (dicas para a prova):
- Para um sistema
a fórmula da inversa é rápida: calcule , forme a matriz e divida por . - Sempre verifique
antes de tentar inverter. - Em prova, se pedirem explicitamente “usar matriz inversa”, execute esses passos; se não pedirem, eliminação ou Cramer podem ser mais rápidos em certos casos.
- Você fez certo em seguir método pedido; manda ver — você manda bem!]