Mostre que
Se A_{(n \times n)} é invertível, então \left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, para uma matriz quadrada invertível A de ordem n, vale a igualdade
\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}.
Informações dadas:
A \text{ é uma matriz } n\times n \text{ e é invertível (ou seja, existe }A^{-1}\text{).}ééí
Não há outras hipóteses ocultas: A é quadrada e tem inversa.

Passo 2

Definições e fatos fundamentais que vamos usar (explicados de forma bem calma):
  • Transposta: para uma matriz M, a transposta M^{T} é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de elementos,
(M^{T})_{ij} = M_{ji}.
Isso significa: o elemento da linha i, coluna j de M^{T} é o elemento da linha j, coluna i de M.
  • Inversa: uma matriz B é inversa de A quando
AB = BA = I,
onde I é a matriz identidade n\times n. Para matrizes quadradas, a inversa é única (se duas matrizes B e C satisfazem AB=BA=I e AC=CA=I, então B=C). Um pequeno lembrete da prova da unicidade: se B e C são inversas de A então B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
Vou usar esses conceitos passo a passo.

Passo 3

Propriedade do produto e da transposta que é crucial: para quaisquer matrizes compatíveis X e Y,
(XY)^{T} = Y^{T} X^{T}.
Prova elementar dessa identidade (bem direta): o elemento (i,j) de (XY)^{T} é
\bigl((XY)^{T}\bigr)_{ij} = (XY)_{ji} = \sum_{k=1}^{n} X_{jk}\,Y_{ki}.
Por outro lado, o elemento (i,j) de Y^{T}X^{T} é
(Y^{T}X^{T})_{ij} = \sum_{k=1}^{n} (Y^{T})_{ik}\,(X^{T})_{kj} = \sum_{k=1}^{n} Y_{ki}\,X_{jk}.
Como a soma de produtos é comutativa em cada termo, os dois somatórios coincidem, logo os elementos correspondentes coincidem para todo i,j, provando a fórmula. Intuitivamente: ao transpor um produto, a ordem dos fatores inverte.

Passo 4

Usamos agora que A^{-1} é inversa de A, então
A^{-1}A = I.
Tomo transposta dos dois lados dessa igualdade. Usando a propriedade do passo anterior, tenho
\bigl(A^{-1}A\bigr)^{T} = I^{T}.

Passo 5

Aplicando a identidade (XY)^{T} = Y^{T}X^{T} ao lado esquerdo e sabendo que I^{T}=I (a identidade transposta continua sendo a identidade), obtemos
A^{T}\bigl(A^{-1}\bigr)^{T} = I.
Se eu também começar por AA^{-1}=I e transpor, eu obteria
\bigl(AA^{-1}\bigr)^{T} = I^{T}\quad\Longrightarrow\quad \bigl(A^{-1}\bigr)^{T}A^{T} = I.
Assim concluímos que \bigl(A^{-1}\bigr)^{T} é tanto um inverso à direita quanto à esquerda de A^{T}. Para matrizes quadradas, isso significa que \bigl(A^{-1}\bigr)^{T} é a inversa de A^{T}.

Passo 6

Pela unicidade da inversa (lembrada no Passo 2), a inversa de A^{T} é única. Como mostramos que \bigl(A^{-1}\bigr)^{T} satisfaz as condições para ser essa inversa, segue que
\bigl(A^{-1}\bigr)^{T} = \bigl(A^{T}\bigr)^{-1}.
Essa é exatamente a igualdade pedida. (Intuição rápida: transpor e inverter são operações que “comutam” — a ordem em que se aplicam não importa.)

Passo 7

Exemplo numérico rápido para conferir a intuição (opcional): seja
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 3 & 4\end{pmatrix}.
A inversa (fórmula para 2\times2) é
A^{-1} = \frac{1}{1\cdot4-2\cdot3}\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} = -\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2 & 1\\[4pt] 1{,}5 & -0{,}5\end{pmatrix}.
Calculando \bigl(A^{-1}\bigr)^{T} e \bigl(A^{T}\bigr)^{-1} (deixei as contas curtas), você vai encontrar o mesmo resultado — confirma a propriedade na prática.]

Resposta

\left(A^{-1}\right)^{T}=\left(A^{T}\right)^{-1}

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