Mostre que
Se
é invertível, então
Se
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, para uma matriz quadrada invertível
de ordem
, vale a igualdade
Informações dadas:
Não há outras hipóteses ocultas:
é quadrada e tem inversa.
Passo 2
Definições e fatos fundamentais que vamos usar (explicados de forma bem calma):
- Transposta: para uma matriz
, a transposta é a matriz obtida trocando linhas por colunas. Em termos de elementos,
Isso significa: o elemento da linha
, coluna
de
é o elemento da linha
, coluna
de
.
- Inversa: uma matriz
é inversa de quando
onde
é a matriz identidade
. Para matrizes quadradas, a inversa é única (se duas matrizes
e
satisfazem
e
, então
). Um pequeno lembrete da prova da unicidade: se
e
são inversas de
então
.
Vou usar esses conceitos passo a passo.
Passo 3
Propriedade do produto e da transposta que é crucial: para quaisquer matrizes compatíveis
e
,
Prova elementar dessa identidade (bem direta): o elemento
de
é
Por outro lado, o elemento
de
é
Como a soma de produtos é comutativa em cada termo, os dois somatórios coincidem, logo os elementos correspondentes coincidem para todo
, provando a fórmula. Intuitivamente: ao transpor um produto, a ordem dos fatores inverte.
Passo 4
Usamos agora que
é inversa de
, então
Tomo transposta dos dois lados dessa igualdade. Usando a propriedade do passo anterior, tenho
Passo 5
Aplicando a identidade
ao lado esquerdo e sabendo que
(a identidade transposta continua sendo a identidade), obtemos
Se eu também começar por
e transpor, eu obteria
Assim concluímos que
é tanto um inverso à direita quanto à esquerda de
. Para matrizes quadradas, isso significa que
é a inversa de
.
Passo 6
Pela unicidade da inversa (lembrada no Passo 2), a inversa de
é única. Como mostramos que
satisfaz as condições para ser essa inversa, segue que
Essa é exatamente a igualdade pedida. (Intuição rápida: transpor e inverter são operações que “comutam” — a ordem em que se aplicam não importa.)
Passo 7
Exemplo numérico rápido para conferir a intuição (opcional): seja
A inversa (fórmula para
) é
Calculando
e
(deixei as contas curtas), você vai encontrar o mesmo resultado — confirma a propriedade na prática.]