Vou usar apenas A porque a verificação solicita o uso de A. O objetivo concreto é calcular os dois lados da igualdade: \left(A^{T}\right)^{-1} e \left(A^{-1}\right)^{T}, e mostrar que são a mesma matriz.]
Passo 2
Primeiro vamos lembrar e aplicar o conceito de transposta. Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
a transposta M^{T} é obtida trocando linhas por colunas:
Aqui a,b,c,d são os elementos de M nas posições usuais. Essa fórmula é muito prática para 2\times2 — memorize ou esteja confortável aplicando-a na prova.]
Passo 4
Calculemos \det(A) para saber se A é invertível e para usar na fórmula:
\det(A)=3\cdot 2 - 1\cdot 5 = 6-5 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível e a inversa é, pela fórmula,
(Procedimento: trocamos linhas por colunas da matriz A^{-1}.)]
Passo 6
Agora calculemos \left(A^{T}\right)^{-1}, a inversa da transposta que encontramos no Passo 2. Primeiro calculemos \det(A^{T}). Lembre que para qualquer matriz quadrada \det(M^{T})=\det(M). Verificamos numericamente:
\det(A^{T}) = 3\cdot 2 - 5\cdot 1 = 6-5 = 1,
o mesmo determinante que A teve. Então a inversa de A^{T} é