Problema 11 Considere as matrizes 2 \times 2 abaixo
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\ 5 & 2\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\ 4 & 4\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{cc}6 & 4 \\\ -2 & -1\end{array}\right]
Use a matriz A para verificar a identidade \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique a identidade
\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}
usando a matriz A. As informações relevantes dadas são as matrizes 2\times2:
A=\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt]5 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & -3\\[4pt]4 & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}6 & 4\\[4pt]-2 & -1\end{pmatrix}.
Vou usar apenas A porque a verificação solicita o uso de A. O objetivo concreto é calcular os dois lados da igualdade: \left(A^{T}\right)^{-1} e \left(A^{-1}\right)^{T}, e mostrar que são a mesma matriz.]

Passo 2

Primeiro vamos lembrar e aplicar o conceito de transposta. Para uma matriz 2\times2
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
a transposta M^{T} é obtida trocando linhas por colunas:
M^{T}=\begin{pmatrix}a & c\\[4pt]b & d\end{pmatrix}.
Aplicando isso à matriz A, temos
A^{T}=\begin{pmatrix}3 & 5\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
(Explicando passo a passo: a primeira linha de A, (3,1), vira primeira coluna de A^{T}; a segunda linha (5,2) vira segunda coluna.)]

Passo 3

Agora vamos revisar o conceito de inversa para matrizes 2\times2. Para
M=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
o determinante é
\det(M)=ad-bc.
A matriz M é invertível se e somente se \det(M)\neq 0. Quando invertível, a inversa é dada pela fórmula
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix}.
Aqui a,b,c,d são os elementos de M nas posições usuais. Essa fórmula é muito prática para 2\times2 — memorize ou esteja confortável aplicando-a na prova.]

Passo 4

Calculemos \det(A) para saber se A é invertível e para usar na fórmula:
\det(A)=3\cdot 2 - 1\cdot 5 = 6-5 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível e a inversa é, pela fórmula,
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix}.
(Detalhe: aqui usamos a=3, b=1, c=5, d=2; a matriz adjunta trocada é \begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -1\\\\ -5 & 3\end{pmatrix}.)]

Passo 5

Agora calculemos \left(A^{-1}\right)^{T}, ou seja, a transposta da inversa que acabamos de obter. Tomando a transposta de
A^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-5 & 3\end{pmatrix},
temos
\left(A^{-1}\right)^{T}=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
(Procedimento: trocamos linhas por colunas da matriz A^{-1}.)]

Passo 6

Agora calculemos \left(A^{T}\right)^{-1}, a inversa da transposta que encontramos no Passo 2. Primeiro calculemos \det(A^{T}). Lembre que para qualquer matriz quadrada \det(M^{T})=\det(M). Verificamos numericamente:
\det(A^{T}) = 3\cdot 2 - 5\cdot 1 = 6-5 = 1,
o mesmo determinante que A teve. Então a inversa de A^{T} é
\left(A^{T}\right)^{-1}=\frac{1}{\det(A^{T})}\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
(Usei a fórmula de inversa para 2\times2 com a=3, b=5, c=1, d=2 da matriz A^{T}.)]

Passo 7

Comparemos as duas matrizes que calculamos:
\left(A^{-1}\right)^{T}=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad \left(A^{T}\right)^{-1}=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
Elas são exatamente idênticas elemento a elemento, portanto a identidade foi verificada para a matriz A.]

Resposta

\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}=\begin{pmatrix}2 & -5\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}]

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