Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
\mathrm{t}^{2} \mathrm{y}^{\prime \prime}+2 \mathrm{t} \mathrm{y}^{\prime}-2 \mathrm{y}=0, \mathrm{t}>0, \mathrm{y}_{1}(\mathrm{t})=\mathrm{t},

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^{2}y''+2t\,y'-2y=0,\quad t>0,
e informa uma solução y_{1}(t)=t. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis, e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y_{2}(t) linearmente independente de y_{1}(t).

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
y''+p(t)\,y'+q(t)\,y=0.
Dividindo por t^{2} obtemos
y''+\frac{2}{t}\,y'-\frac{2}{t^{2}}\,y=0,
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p(t)=\frac{2}{t}, \quad q(t)=-\frac{2}{t^{2}}.

Passo 3

Pela fórmula do método da redução de ordem, uma segunda solução pode ser escolhida como
y_{2}(t) = y_{1}(t) \int \frac{ \exp\bigl(-\displaystyle\int p(t)\,dt\bigr) }{ \bigl(y_{1}(t)\bigr)^{2} }\,dt.

Passo 4

Calculamos primeiro o fator exponencial:
\exp\Bigl(-\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(-\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) =\exp\bigl(-2\ln t\bigr) =t^{-2}.

Passo 5

Substituímos na integral
y_{2}(t) = t \int \frac{t^{-2}}{t^{2}} \,dt = t \int t^{-4} \,dt.
Agora
\int t^{-4}\,dt =-\tfrac{1}{3}\,t^{-3} +C.

Passo 6

Portanto
y_{2}(t) = t\;\Bigl(-\tfrac{1}{3}t^{-3}\Bigr) =-\tfrac{1}{3}\,t^{-2}.
Como constante multiplicativa não altera independência linear, podemos escolher
y_{2}(t)=t^{-2}.

Resposta

A segunda solução, linearmente independente de y_{1}(t)=t, é
y_{2}(t)=t^{-2}.

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