Em cada item abaixo, são dadas uma EDO e uma de suas soluções. Usando o método da redução de ordem, encontre uma segunda solução que é linearmente independente em relação à primeira.
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e informa uma solução
. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis, e vamos usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
linearmente independente de
.
Passo 2
Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
Dividindo por
obtemos
logo
Passo 3
Pela fórmula do método da redução de ordem, uma segunda solução pode ser escolhida como
Passo 4
Calculamos primeiro o fator exponencial:
Passo 5
Substituímos na integral
Agora
Passo 6
Portanto
Como constante multiplicativa não altera independência linear, podemos escolher
Resposta
A segunda solução, linearmente independente de
, é