Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-8 \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-8\,\frac{dy}{dx}=0
Vamos usar o método da equação característica para equações lineares homogêneas.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^{r x}. Substituindo na equação diferencial:
r^{2}e^{r x}-8\,r\,e^{r x}=0
Como e^{r x}\neq0, dividimos por e^{r x} e obtemos a equação característica:
r^{2}-8r=0

Passo 3

Resolvendo a equação característica r^{2}-8r=0 por fatoração:
r\,(r-8)=0
logo as raízes são r_{1}=0 e r_{2}=8. São reais e distintas, então a solução geral será combinação linear de e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x}.

Passo 4

Para raízes reais e distintas, a forma geral da solução é
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}
Substituindo r_{1}=0 e r_{2}=8, temos
y(x)=C_{1}e^{0\cdot x}+C_{2}e^{8x}=C_{1}+C_{2}e^{8x}

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{8x}

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