Nos problemas seguintes, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-36 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes 3\frac{d^{2}y}{dx^{2}} -36y=0. Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 3, fica
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} -12\,y=0.
Aí a equação característica associada é
r^{2}-12=0.

Passo 3

Resolvendo r^{2}-12=0 obtemos
r=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}.

Passo 4

Como as raízes r_{1}=2\sqrt{3} e r_{2}=-2\sqrt{3} são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}e^{2\sqrt{3}\,x}+C_{2}e^{-2\sqrt{3}\,x},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2\sqrt{3}\,x}+C_{2}e^{-2\sqrt{3}\,x}

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