Em cada item abaixo, simplifique as frações algébricas e encontre os graus do A(x) e do B(x).
\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{A(x)}{B(x)}

Passo 1

O enunciado pede que eu simplifique a expressão
\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{A(x)}{B(x)}
e que eu encontre os graus de A(x) e de B(x). Informações relevantes dadas:
  • As duas parcelas têm o mesmo denominador x+1.
  • É necessário lembrar que x+1 não pode ser zero, portanto x\neq -1.
  • O objetivo final é escrever a fração na forma reduzida \frac{A(x)}{B(x)} (se possível cancelar fatores) e informar \deg A(x) e \deg B(x).

Passo 2

Quando duas frações têm o mesmo denominador, a subtração é feita subtraindo-se os numeradores e mantendo o denominador comum. Em termos gerais:
\frac{P(x)}{D(x)}-\frac{Q(x)}{D(x)}=\frac{P(x)-Q(x)}{D(x)}.
Aplicando isso à nossa expressão, com P(x)=x, Q(x)=1 e D(x)=x+1, obtemos:
\frac{x}{x+1}-\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}.
Esse é o passo de combinar numeradores sobre o mesmo denominador.

Passo 3

Agora verifico se a fração \frac{x-1}{x+1} pode ser simplificada cancelando algum fator comum entre numerador e denominador. Para isso, procuro fatores comuns não-constantes em x-1 e x+1.
O numerador x-1 e o denominador x+1 são polinômios lineares. A única maneira de terem um fator polinomial comum não-constante seria se fossem múltiplos um do outro por uma constante, ou se tivessem um fator linear idêntico. Mas x-1 e x+1 são diferentes (um tem raiz x=1, o outro tem raiz x=-1), logo não há fator não-constante em comum. Outra maneira rápida de ver que são coprimos é calcular a diferença:
(x+1)-(x-1)=2,
uma constante, o que mostra que o máximo divisor comum é uma constante (ou seja, são coprimos). Portanto não há simplificação adicional possível.

Passo 4

Vou explicar o que significa “grau” de um polinômio, pois preciso disso para responder a parte dos graus.
Definição: o grau de um polinômio é o maior expoente de x com coeficiente diferente de zero. Exemplos simples:
  • O polinômio constante 5 tem grau 0.
  • O polinômio 2x^2+3x+1 tem grau 2 porque o maior expoente presente é 2.
  • Um polinômio linear como x-1 ou x+1 tem grau 1.
No nosso caso:
  • O numerador é x-1. O termo de maior grau é x (expoente 1), então \deg(x-1)=1.
  • O denominador é x+1. O termo de maior grau é x (expoente 1), então \deg(x+1)=1.

Passo 5

Resumo e observações finais úteis para a prova:
  • A forma simplificada da expressão é \dfrac{x-1}{x+1}.
  • Não é possível cancelar nada entre numerador e denominador porque são polinômios coprimos.
  • Não esqueça a restrição de domínio: x\neq -1 (pois o denominador original não pode ser zero).
  • Os graus são ambos 1, isto é, o numerador e o denominador são polinômios lineares.

Resposta

\frac{A(x)}{B(x)}=\frac{x-1}{x+1}
\deg A(x)=1,\quad \deg B(x)=1

Exercícios relacionados