Em cada item abaixo, simplifique as frações algébricas e encontre os graus do
e do
.
Passo 1
O enunciado pede que eu simplifique a expressão
e que eu encontre os graus de
e de
. Informações relevantes dadas:
- As duas parcelas têm o mesmo denominador
. - É necessário lembrar que
não pode ser zero, portanto . - O objetivo final é escrever a fração na forma reduzida
(se possível cancelar fatores) e informar e .
Passo 2
Quando duas frações têm o mesmo denominador, a subtração é feita subtraindo-se os numeradores e mantendo o denominador comum. Em termos gerais:
Aplicando isso à nossa expressão, com
,
e
, obtemos:
Esse é o passo de combinar numeradores sobre o mesmo denominador.
Passo 3
Agora verifico se a fração
pode ser simplificada cancelando algum fator comum entre numerador e denominador. Para isso, procuro fatores comuns não-constantes em
e
.
O numerador
e o denominador
são polinômios lineares. A única maneira de terem um fator polinomial comum não-constante seria se fossem múltiplos um do outro por uma constante, ou se tivessem um fator linear idêntico. Mas
e
são diferentes (um tem raiz
, o outro tem raiz
), logo não há fator não-constante em comum. Outra maneira rápida de ver que são coprimos é calcular a diferença:
uma constante, o que mostra que o máximo divisor comum é uma constante (ou seja, são coprimos). Portanto não há simplificação adicional possível.
Passo 4
Vou explicar o que significa “grau” de um polinômio, pois preciso disso para responder a parte dos graus.
Definição: o grau de um polinômio é o maior expoente de
com coeficiente diferente de zero. Exemplos simples:
- O polinômio constante
tem grau . - O polinômio
tem grau porque o maior expoente presente é . - Um polinômio linear como
ou tem grau .
No nosso caso:
- O numerador é
. O termo de maior grau é (expoente ), então . - O denominador é
. O termo de maior grau é (expoente ), então .
Passo 5
Resumo e observações finais úteis para a prova:
- A forma simplificada da expressão é
. - Não é possível cancelar nada entre numerador e denominador porque são polinômios coprimos.
- Não esqueça a restrição de domínio:
(pois o denominador original não pode ser zero). - Os graus são ambos
, isto é, o numerador e o denominador são polinômios lineares.