Em cada item abaixo, simplifique as frações algébricas e encontre os graus do
e do
.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede que você simplifique essa fração algébrica e encontre os graus de
e
na forma
Informações relevantes fornecidas:
,
e
aparecem como fatores; há divisões por polinômios (portanto alguns valores de
podem ser proibidos). Ainda não começamos a resolver — só listei o que o problema pede e os dados que temos.
Passo 2
Regra para dividir frações (uma “aula rápida”): para quaisquer polinômios
com
e
,
Aqui a ideia é transformar a divisão em multiplicação, invertendo a segunda fração. As letras indicam:
é o numerador da primeira fração,
o denominador da primeira,
numerador da segunda e
denominador da segunda.
Passo 3
Aplique a regra ao nosso caso com substituição explícita: tomando
,
,
,
, obtemos
Escrevi cada polinômio no seu lugar para ficar claro.
Passo 4
Agora observe um fator comum: tanto no numerador quanto no denominador aparece o fator
. Podemos cancelar esse fator multiplicativo quando ele não for zero. Cancelando
em cima e embaixo sobra
Importante (regra de cancelamento): só podemos cancelar
se
, ou seja, se
. Além disso, originalmente os denominadores exigiam
e
para evitar divisão por zero. Portanto a expressão simplificada algébrica é
, válida para todos os
exceto
. (Em
havia um fator comum que gera uma descontinuidade removível na expressão original.)
Passo 5
Agora vamos falar de grau de polinômio (outra mini-aula): o grau de um polinômio é o maior expoente
com coeficiente não nulo em
. Exemplos simples: o grau de
é
porque o maior expoente presente é
; o grau de
é
porque o maior expoente é
.
Passo 6
Aplicando a definição aos polinômios que ficaram:
o numerador simplificado é , cujo maior expoente é
, então
.
o denominador simplificado é , cujo maior expoente é
, então
.
o numerador simplificado é
o denominador simplificado é