Em cada item abaixo, simplifique as frações algébricas e encontre os graus do A(x) e do B(x).
\frac{x-3}{x+2} \div \frac{x-3}{x-2}=\frac{A(x)}{B(x)}

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\frac{x-3}{x+2} \div \frac{x-3}{x-2}
e pede que você simplifique essa fração algébrica e encontre os graus de A(x) e B(x) na forma
\frac{A(x)}{B(x)}.
Informações relevantes fornecidas:
\;x-3, \;x+2 e \;x-2 aparecem como fatores; há divisões por polinômios (portanto alguns valores de x podem ser proibidos). Ainda não começamos a resolver — só listei o que o problema pede e os dados que temos.

Passo 2

Regra para dividir frações (uma “aula rápida”): para quaisquer polinômios p,q,r,s com q\neq0 e r\neq0,
\frac{p}{q}\div\frac{r}{s}=\frac{p}{q}\cdot\frac{s}{r}.
Aqui a ideia é transformar a divisão em multiplicação, invertendo a segunda fração. As letras indicam: p é o numerador da primeira fração, q o denominador da primeira, r numerador da segunda e s denominador da segunda.

Passo 3

Aplique a regra ao nosso caso com substituição explícita: tomando p=x-3, q=x+2, r=x-3, s=x-2, obtemos
\frac{x-3}{x+2}\div\frac{x-3}{x-2}=\frac{x-3}{x+2}\cdot\frac{x-2}{x-3}.
Escrevi cada polinômio no seu lugar para ficar claro.

Passo 4

Agora observe um fator comum: tanto no numerador quanto no denominador aparece o fator \,x-3. Podemos cancelar esse fator multiplicativo quando ele não for zero. Cancelando \,x-3 em cima e embaixo sobra
\frac{x-2}{x+2}.
Importante (regra de cancelamento): só podemos cancelar \,x-3 se \,x-3\neq0, ou seja, se x\neq3. Além disso, originalmente os denominadores exigiam x\neq -2 e x\neq 2 para evitar divisão por zero. Portanto a expressão simplificada algébrica é \frac{x-2}{x+2}, válida para todos os x exceto x\neq -2,\;2,\;3. (Em x=3 havia um fator comum que gera uma descontinuidade removível na expressão original.)

Passo 5

Agora vamos falar de grau de polinômio (outra mini-aula): o grau de um polinômio é o maior expoente n com coeficiente não nulo em x^n. Exemplos simples: o grau de x-2 é 1 porque o maior expoente presente é 1; o grau de x^2+3x é 2 porque o maior expoente é 2.

Passo 6

Aplicando a definição aos polinômios que ficaram:
o numerador simplificado é x-2, cujo maior expoente é 1, então \deg A=1.
o denominador simplificado é x+2, cujo maior expoente é 1, então \deg B=1.

Resposta

\dfrac{A(x)}{B(x)}=\dfrac{x-2}{x+2}\n \deg A=1,\\ \deg B=1

Exercícios relacionados