Em cada item abaixo, simplifique as frações algébricas e encontre os graus do A(x) e do B(x).
\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=\frac{A(x)}{B(x)}

Passo 1

O enunciado dá a soma de duas frações algébricas idênticas:
\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=\frac{A(x)}{B(x)}.
Perguntas pedidas:
  1. Simplificar a soma e escrever na forma \frac{A(x)}{B(x)}.
  2. Encontrar os graus de A(x) e de B(x).
    Informações relevantes fornecidas: os dois denominadores são iguais e valem x-1. Não há figura ou tabela.

Passo 2

Observação importante (regra para somar frações): quando duas frações têm o mesmo denominador, somamos apenas os numeradores e mantemos o denominador comum. Em termos algébricos, para quaisquer polinômios N_1(x),N_2(x) e denominador comum D(x),
\frac{N_1(x)}{D(x)}+\frac{N_2(x)}{D(x)}=\frac{N_1(x)+N_2(x)}{D(x)}.
Aqui os numeradores são 1 e 2, e o denominador comum é x-1. Aplicamos a regra.

Passo 3

Somando os numeradores:
1+2=3.
Portanto a soma fica
\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x-1}=\frac{3}{x-1}.
Observação de domínio: a expressão só está definida para valores de x tais que x-1\neq 0, ou seja x\neq 1.

Passo 4

Identificamos explicitamente A(x) e B(x) na fração simplificada:
A(x)=3,\qquad B(x)=x-1.
Aqui A(x) é o polinômio constante 3 e B(x) é o polinômio linear x-1.

Passo 5

Definição (grau de um polinômio): o grau de um polinômio é o maior expoente de x com coeficiente não nulo. Exemplos rápidos:
  • O polinômio constante diferente de zero, como 3, tem grau 0 porque não há termo em x.
  • Um polinômio da forma x-1 tem termo de maior grau x^1, então seu grau é 1.

Passo 6

Aplicando a definição aos nossos polinômios:
\deg A(x)=\deg(3)=0,
\deg B(x)=\deg(x-1)=1.
Também checamos se a fração pode ser reduzida: o numerador 3 é constante e não tem fator em comum não-constante com x-1, então a fração já está na forma irreduzível sobre os polinômios reais.

Resposta

\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)}=\frac{3}{x-1}
\deg A(x)=0
\deg B(x)=1

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