Em cada item, achar a solução do problema de valor inicial, aplicando o método do fator integrante. Verificar, após ter resolvido a equação, se a solução atende à mesma.
y^prime-y=2 x e^2 x ; y(0)=1

Passo 1

Estamos resolvendo o problema de valor inicial y' - y = 2x e^2x,;y(0)=1 usando o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^-integral1,dx=e^-x Multiplicamos a equação original por mu(x):
e^-xy' - e^-xy = 2x e^2xe^-x = 2x e^x

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de e^-xy. Integramos ambos os lados:
ddx(e^-xy) = 2x e^x
integralddx(e^-xy),dx = integral 2x e^x,dx
Para integrar integral2x e^x dx usamos partes: seja u=2x, dv=e^x dx, então
integral2x e^x dx = 2x e^x - integral2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x + C = 2e^x(x-1) + C

Passo 4

Temos então
e^-xy = 2e^x(x-1) + C,
multiplicando por e^x:
y = 2e^2x(x-1) + C e^x

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=1:
y(0) = 2e^0(0-1) + C e^0 = -2 + C = 1 implies C = 3
Logo
y = 2e^2x(x-1) + 3e^x

Passo 6

Para verificar, calculamos y' e conferimos que y' - y = 2x e^2x e que y(0)=1. Assim confirmamos que a solução encontrada satisfaz a equação e a condição inicial.

Resposta

y = 2e^2x(x-1) + 3e^x

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